Folhas secas cobriam o piso da biblioteca municipal quando a nova diretora analisou o boletim de adesão de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e associar progressões aritméticas (PA) a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Folhas secas cobriam o piso da biblioteca municipal quando a nova diretora analisou o boletim de adesão de usuários. Em 2018, a taxa anual de inscrição foi de R$ 50,00; em 2019, R$ 65,00; em 2020, R$ 80,00; em 2021, R$ 95,00. Observou-se que, a cada ano, o valor cresce segundo um mesmo montante fixo. A diretora pretende usar essa sequência de valores para prever as taxas de anos futuros e elaborar o orçamento da biblioteca. Analise o texto-base e identifique a expressão que permite calcular o valor da taxa anual de inscrição no ano n.
- A) a_n = 50 + 15·(n - 1)
- B) a_n = 65 + 15·(n - 1)
- C) a_n = 95 - 15·(5 - n)
- D) a_n = 50 + 20·(n - 1)
- E) a_n = 50·n + 15
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o padrão. Os valores são 50, 65, 80 e 95, e a diferença entre termos consecutivos é sempre 65 - 50 = 15, 80 - 65 = 15 e 95 - 80 = 15. Como o montante é fixo, trata-se de uma progressão aritmética de razão 15.
- Escolha o primeiro termo. Considerando n = 1 para 2018, o primeiro termo a_1 é 50.
- Monte a fórmula do termo geral. Em uma PA, a_n = a_1 + (n - 1) x r. Substituindo, a_n = 50 + 15 x (n - 1).
- Verifique a fórmula. Para n = 2 (2019), a_2 = 50 + 15 = 65. Para n = 4 (2021), a_4 = 50 + 45 = 95. Os valores conferem com o boletim.
- Compare com as alternativas. A alternativa A é a única que coincide com a fórmula obtida, e o gabarito oficial está correto.
- Por que as outras estão erradas. B usa 65 como primeiro termo, o que deslocaria a sequência para n = 1 correspondendo a 2019. C só funciona se o índice for contado a partir de 2021, o que não é o padrão natural do enunciado. D usa razão 20, mas a diferença observada é 15. E é uma função afim com coeficiente 50n, que cresce de forma incompatível com a sequência, pois daria 65 para n = 1.
💡 Dica: Identifique o primeiro termo e a razão constante da sequência; considere que n=1 corresponde a 2018.
Alternativa por alternativa
A taxa inicial, correspondente a 2018, é R$ 50,00. Como ela aumenta R$ 15,00 a cada ano, o valor no ano n é obtido somando 15·(n - 1) à taxa inicial.
O aluno pega o segundo valor da lista (65) como se fosse o primeiro termo e usa a razão corretamente, sem perceber que 50 é o valor inicial de 2018.
Por que engana: O aluno pode usar o ano civil como n sem ajustar o índice, ou confundir o primeiro termo da sequência com o segundo ao montar a expressão.
O aluno toma 95 como referência e constrói a fórmula regressiva a partir do último valor, contando o índice de forma diferente do enunciado, que começa em 2018. Assim a fórmula não reproduz 50 para o primeiro ano.
O aluno calcula mal a razão, usando 20 em vez de 15, talvez por confundir a diferença entre 50 e 65 com um incremento arredondado ou por dividir mal o total 95 - 50 = 45 por 3 e errar a conta.
O aluno confunde progressão aritmética com proporcionalidade ou função linear, multiplicando n por 50 e somando 15, o que não gera a variação constante de 15 entre os termos.
Raio-X da questão
Termo geral de progressão aritmética
avaliacao
Identificação de padrões numéricos · Cálculo da razão constante
Revise a fórmula do termo geral da progressão aritmética e a identificação do primeiro termo e da razão.
O aluno pode usar o ano civil como n sem ajustar o índice, ou confundir o primeiro termo da sequência com o segundo ao montar a expressão.
economia_financeira
tomada_decisao
cotidiano
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