Uma prefeitura brasileira avalia o apoio dos moradores à criação de ciclovias em dois distritos. Para isso…

Questão

Uma prefeitura brasileira avalia o apoio dos moradores à criação de ciclovias em dois distritos. Para isso, realizou amostras aleatórias simples, sem reposição, e adotou o mesmo nível de confiança e o mesmo procedimento de cálculo da margem de erro para as duas estimativas. No Distrito Verde, foram entrevistados 250 moradores de uma população de 5.000, dos quais 64% declararam apoio. No Distrito Azul, foram entrevistados 400 moradores de uma população de 1.000, dos quais 58% declararam apoio. Para comparar as margens de erro, deve-se considerar a variabilidade estimada em cada amostra, o tamanho da amostra e a correção para população finita, dada por v[(N - n)/(N - 1)], em que N é o tamanho da população e n é o tamanho da amostra. Com base nos dados do texto, em qual distrito a estimativa da proporção de moradores favoráveis apresenta menor margem de erro?

1. A) No Distrito Azul
2. B) No Distrito Verde
3. C) Em nenhum dos distritos
4. D) Em ambos os distritos
5. E) Não é possível comparar com os dados apresentados

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. A margem de erro de uma proporção é z vezes a raiz de p(1-p)/n, multiplicada pela correção para população finita, raiz de (N-n)/(N-1). Como o nível de confiança é o mesmo nos dois distritos, z é igual nos dois casos, então basta comparar raiz de [p(1-p)/n] vezes raiz de [(N-n)/(N-1)]. Passo 2: Distrito Verde: p = 0,64, então p(1-p) = 0,2304; com n = 250, 0,2304/250 = 0,0009216. A correção é (5000-250)/(5000-1) = 4750/4999, aproximadamente 0,9502. O produto é aproximadamente 0,000876 e sua raiz quadrada é aproximadamente 0,0296. Passo 3: Distrito Azul: p = 0,58, então p(1-p) = 0,2436; com n = 400, 0,2436/400 = 0,000609. A correção é (1000-400)/(1000-1) = 600/999, aproximadamente 0,6006. O produto é aproximadamente 0,000366 e sua raiz quadrada é aproximadamente 0,0191. Passo 4: Comparando, 0,0191 é menor que 0,0296, logo o Distrito Azul tem a menor margem de erro, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: B exigiria que a margem do Verde fosse menor, o que não ocorre, pois sua variabilidade e sua população finita são menos favoráveis; C é falsa porque as margens são diferentes; D é falsa pelo mesmo motivo, já que a igualdade só valeria se p, n e N fossem iguais; E é falsa porque os dados do enunciado são suficientes para o cálculo e a comparação.

💡 Dica: Calcule a margem de erro para cada distrito usando a fórmula da proporção amostral.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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