Traçado em papel vegetal, um estudante de design esboça o logo de uma marca formada por três circunferências…

Questão

Traçado em papel vegetal, um estudante de design esboça o logo de uma marca formada por três circunferências de mesmo raio r, construídas com compasso, cujos centros são vértices de um triângulo equilátero de lado r. No esboço, cada par de circunferências se intersecta em dois pontos distintos. O estudante planeja destacar esses pontos de interseção com pequenas estrelas sobre o papel. Analise o texto-base e determine quantos pontos de interseção serão destacados no logo.

1. A) 3
2. B) 6
3. C) 9
4. D) 12
5. E) 18

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Identifique as circunferências. São três circunferências de raio r, com centros A, B e C nos vértices de um triângulo equilátero de lado r. Assim, AB = BC = AC = r.
2. Verifique se cada par se intersecta em dois pontos. Dois círculos de raio r com centros a distância r se cortam em dois pontos, pois r é menor que 2r. O enunciado já afirma isso.
3. Observe um fato importante. O centro C está a distância r de A e a distância r de B, logo C pertence à circunferência de centro A e à circunferência de centro B. Ou seja, um dos pontos de interseção de cada par é justamente o centro da terceira circunferência.
4. Calcule o segundo ponto de cada par. Para as circunferências de centros A e B, o outro ponto é o reflexo de C em relação à reta AB, que fica do lado oposto ao triângulo. Os outros dois pares se comportam da mesma forma.
5. Conte os pontos distintos. Os pontos são A, B e C (cada um como interseção de dois círculos) e mais três pontos, reflexos dos vértices em relação aos lados opostos. Esses seis pontos são distintos, pois os reflexos estão fora do triângulo e não coincidem entre si nem com os vértices.
6. Conclua. Como são 3 pares com 2 pontos cada, e não há pontos repetidos, o total é 3 x 2 = 6. O gabarito B está correto.
7. Por que as outras estão erradas: A (3) considera apenas um ponto por par; C (9) e E (18) contam interseções de forma inflada; D (12) conta cada par duas vezes.

💡 Dica: Calcule as interseções entre cada par de circunferências e some os pontos distintos.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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