Durante uma campanha de educação científica em um parque de diversões brasileiro, os operadores explicaram que…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, movimentos cíclicos, entre outros) e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de álgebra e geometria.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante uma campanha de educação científica em um parque de diversões brasileiro, os operadores explicaram que uma roda-gigante realiza uma volta completa em 30 minutos. O assento analisado passa pelo ponto mais baixo, situado a 10 m do solo, no instante t = 0. O ponto mais alto está a 30 m do solo. Para representar a altura h, em metros, desse assento ao longo do tempo t, em minutos, foi adotado o modelo h(t) = 20 - 10 cos(pt/15). Com base nesse modelo, após quantos minutos, a partir do instante t = 0, o assento atinge pela primeira vez sua altura máxima?
- A) 22,5 minutos
- B) 15 minutos
- C) 7,5 minutos
- D) 10 minutos
- E) 30 minutos
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Resolvi por conta própria. O período do modelo é 2π/(π/15) = 30 minutos, coerente com a volta completa de 30 minutos informada no enunciado. Passo 2: A altura máxima ocorre quando cos(πt/15) é mínimo, ou seja, igual a -1. Nesse caso h = 20 - 10(-1) = 30 m, que é o ponto mais alto indicado. Passo 3: Resolvendo cos(πt/15) = -1 com t ≥ 0, a primeira solução ocorre quando πt/15 = π, logo t = 15 minutos. Passo 4: Verificação: em t = 0, cos = 1 e h = 10 m, que é o ponto mais baixo, como o enunciado indica; em t = 15, h = 20 - 10(-1) = 30 m. Passo 5: Comparação com o gabarito: minha resolução coincide com o gabarito oficial, alternativa B. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A) 22,5 min corresponde a 3/4 do período, instante em que cos = 0 e h = 20 m, altura intermediária e não máxima. C) 7,5 min corresponde a um quarto do período, com cos = 0 e h = 20 m, também altura intermediária. D) 10 min não é um ponto de máximo, pois cos(2π/3) = -1/2 e h = 25 m. E) 30 min é o instante em que o assento volta ao ponto mais baixo, pois cos(2π) = 1 e h = 10 m.
💡 Dica: Use a função seno para encontrar o tempo em que a altura é máxima.
Alternativa por alternativa
O aluno supõe que o máximo ocorre em três quartos do período, confundindo a posição do assento com o ponto de altura máxima. Em 22,5 min a altura é 20 m, e não 30 m.
A altura máxima ocorre quando o cosseno assume o valor −1, pois h(t) = 20 − 10 cos(πt/15). Assim, é necessário que πt/15 = π, o que resulta em t = 15 minutos. Isso também é coerente com o movimento: o assento parte do ponto mais baixo e alcança o ponto mais alto após meia volta da roda, isto é, metade de 30 minutos.
O aluno calcula corretamente que a altura é 20 m em t = 7,5, mas acredita que essa altura intermediária é o máximo. Ele confunde o ponto médio da trajetória com o ponto mais alto.
Por que engana: Confundir o período da função com o tempo para atingir a altura máxima, ou não aplicar corretamente a função seno.
O aluno divide o período em três partes iguais ou faz uma conta aproximada sem verificar o cosseno. Ao substituir t = 10, obtém h = 25 m, que não é a altura máxima.
O aluno acha que, ao completar a volta, o assento retorna ao ponto mais alto, como se a roda-gigante voltasse à posição inicial de altura máxima. Na verdade, em t = 30 o assento está de novo no ponto mais baixo, com h = 10 m.
Raio-X da questão
função seno e altura máxima
avaliacao
funções trigonométricas básicas · análise de gráficos de funções
Estude funções trigonométricas e como encontrar máximos.
Confundir o período da função com o tempo para atingir a altura máxima, ou não aplicar corretamente a função seno.
tomada_decisao
cotidiano
Questões parecidas com resolução
- Em um parque de diversões, uma equipe acompanha a posição de uma cabine em uma roda-gigante. O centro da roda está a 14…
- O raio de uma roda gigante de centro C mede CA = CB = 10 m. Do centro C ao plano horizontal do chão, há uma distância de…
- Em estudos sobre a queda e o movimento dos corpos, associados às investigações de Galileu Galilei, modelos matemáticos…
- Num laboratório, sensores são colocados no topo de dois pistões para analisar o desempenho de um motor. A profundidade…
- Na figura, PQ representa o eixo dos pedais de uma bicicleta. A altura do ponto Q ao chão, em centímetros, é h = 20 +…
- Um físico analisa a trajetória de um projétil. A altura (h) em metros do projétil em função do tempo (t) em segundos é…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog