Num laboratório, sensores são colocados no topo de dois pistões para analisar o desempenho de um motor. A…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num laboratório, sensores são colocados no topo de dois pistões para analisar o desempenho de um motor. A profundidade do primeiro pistão no bloco do motor pode ser descrita, de maneira aproximada, pela expressão H1 = 12 cos(2pt/60), e a profundidade do segundo, pela expressão H2 = 12 sen(2pt/60), sendo t o tempo medido em milissegundos a partir do acionamento do motor. Quanto tempo levará para que os pistões estejam na mesma profundidade, pela primeira vez, após o acionamento do motor? (UFPR 2015)
- A) 5 milissegundos.
- B) 7,5 milissegundos.
- C) 10 milissegundos.
- D) 22,5 milissegundos.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Os pistões estão na mesma profundidade quando H1 = H2, ou seja, 12 cos(2pt/60) = 12 sen(2pt/60). Como 12 é diferente de zero, isso equivale a cos(2pt/60) = sen(2pt/60). Passo 2: Chame x = 2pt/60. A condição fica cos(x) = sen(x). Para cos(x) diferente de zero, dividindo ambos os lados por cos(x), obtemos tan(x) = 1. Passo 3: Como t é o tempo a partir do acionamento, t maior que 0 e, portanto, x maior que 0. A menor solução positiva de tan(x) = 1 é x = pi/4 (45 graus), onde cos(x) = sen(x) = raiz de 2 dividido por 2. Passo 4: Resolvendo 2pt/60 = pi/4, temos 2t/60 = 1/4, logo t = 60/8 = 7,5 milissegundos. Passo 5: Em t = 0 os pistões não estão na mesma profundidade (cos(0) = 1 e sen(0) = 0), então o primeiro instante de igualdade após o acionamento é de fato 7,5 milissegundos. Passo 6: Por que as outras alternativas estão erradas: a alternativa A (5 ms) corresponde a x = pi/6, em que cos e sen não são iguais; a alternativa C (10 ms) corresponde a x = pi/3, também sem igualdade entre cos e sen; a alternativa D (22,5 ms) corresponde a x = 3pi/4, onde sen é positivo e cos é negativo, de modo que H1 = -H2 e não há igualdade. Conclusão: a resposta correta é a alternativa B, em acordo com o gabarito oficial.
💡 Dica: Iguale as expressões e resolva a equação trigonométrica para t.
Alternativa por alternativa
Provavelmente tomou o ângulo x = pi/6 (30 graus) como a solução, aplicando um ângulo notável que não satisfaz cos(x) = sen(x). Não percebeu que a igualdade exige tan(x) = 1.
CORRETA. O tempo de 7,5 milissegundos é o primeiro instante positivo em que as profundidades dos pistões são iguais, obtido ao resolver a equação 12 cos(2πt/60) = 12 sen(2πt/60).
Provavelmente assumiu que seno e cosseno se igualam em x = pi/3 (60 graus), confundindo ângulos notáveis, ou fez 2pt/60 = pi/3 sem verificar a condição tan(x) = 1.
Provavelmente tomou x = 3pi/4, onde o cosseno é negativo e o seno é positivo, e os valores têm sinais opostos. Errou o sinal do cosseno no segundo quadrante e concluiu que as profundidades coincidem.
Raio-X da questão
equação trigonométrica, tempo, profundidade
avaliacao
funções trigonométricas básicas · resolução de equações trigonométricas
estude equações trigonométricas e propriedades do seno e cosseno
confundir seno com cosseno ou não considerar o domínio do tempo para a solução correta
pensamento_critico
cotidiano
Questões parecidas com resolução
- Em um laboratório de monitoramento ambiental, dois sensores sonoros emitem pulsos periódicos para marcar a passagem do…
- Durante uma campanha de educação científica em um parque de diversões brasileiro, os operadores explicaram que uma…
- — Todos os dias, a maré segue um padrão previsível, comenta um pescador local. Em estudos recentes, a altura da água, em…
- ENEM - 2022 Uma máquina em operação tem sua temperatura T monitorada por meio de um registro gráfico, ao longo do tempo…
- Moradores de uma vila pesqueira registraram as variações de altura da maré ao longo de um ciclo diário de 12 horas. Para…
- Para estudar a sincronização de semáforos em uma avenida de uma cidade brasileira, uma equipe de mobilidade urbana…
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog