No saguão de um centro cultural, o piso temporário de uma exposição será montado com placas idênticas, todas…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No saguão de um centro cultural, o piso temporário de uma exposição será montado com placas idênticas, todas de um único tipo de polígono regular. A equipe de montagem analisou cinco modelos disponíveis no catálogo: pentágono regular, hexágono regular, heptágono regular, octógono regular e nonágono regular. Para que o revestimento cubra toda a superfície, sem deixar frestas nem sobreposições, as placas escolhidas precisam encaixar perfeitamente ao redor de cada ponto de encontro. Nesse tipo de ladrilhamento, a soma dos ângulos ao redor de um vértice deve ser 360°. A equipe deseja escolher um único modelo que possa ser repetido no piso inteiro. Com base no texto, identifique o modelo que pode ser repetido sozinho para ladrilhar o piso sem frestas nem sobreposições.
- A) O octógono regular, pois quatro ângulos internos formam exatamente 360° ao redor de um vértice.
- B) O heptágono regular, pois seus ângulos internos podem ser somados até formar 360° sem sobreposição.
- C) O hexágono regular, pois três ângulos internos de 120° totalizam 360° ao redor de cada vértice.
- D) O pentágono regular, pois três ângulos internos completam exatamente 360° ao redor de um vértice.
- E) O nonágono regular, pois seu ângulo interno é obtido dividindo 360° pelo número de lados.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Para ladrilhar o piso com um único polígono regular, a soma dos ângulos em torno de cada vértice deve dar 360°. Assim, o ângulo interno do polígono precisa caber um número inteiro de vezes em 360°.
- Calcule o ângulo interno de cada polígono pela fórmula (n - 2) x 180 / n. Pentágono (n = 5): 108°. Hexágono (n = 6): 120°. Heptágono (n = 7): aproximadamente 128,57°. Octógono (n = 8): 135°. Nonágono (n = 9): 140°.
- Verifique a divisibilidade por 360. 360 / 120 = 3, ou seja, três ângulos de 120° somam exatamente 360° em cada vértice. Isso permite o encaixe perfeito sem frestas nem sobreposições. A alternativa C está correta, e o gabarito oficial coincide com essa conclusão.
- Por que as outras estão erradas. A: quatro ângulos de 135° somam 540°, e não 360°. B: o heptágono tem ângulo de cerca de 128,57°, que não divide 360° exatamente, então nenhuma soma de seus ângulos fecha 360° sem sobreposição ou fresta. D: três ângulos de 108° somam 324°, e não 360°. E: a conta 360 / 9 = 40° dá o ângulo externo ou o ângulo central, e não o ângulo interno, que é 140°; além disso, 140° não divide 360°.
- Conclusão: apenas o hexágono regular satisfaz a condição de ladrilhamento com um único modelo.
💡 Dica: Calcule os ângulos internos e verifique quantas peças formam 360° ao redor de um vértice.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula corretamente o ângulo interno do octógono (135°), mas supõe que quatro desses ângulos fecham 360°, sem multiplicar de fato: 4 x 135° = 540°.
O aluno acredita que qualquer polígono regular pode ser somado até formar 360°, sem verificar se o ângulo interno divide 360° exatamente. O heptágono tem ângulo não inteiro em relação a 360°.
Para um polígono regular ladrilhar o plano sozinho, um número inteiro de seus ângulos internos deve somar 360°. O ângulo interno de um polígono regular de n lados é dado por (n − 2)·180°/n. Para o hexágono regular, esse ângulo mede (6 − 2)·180°/6 = 120°. Como 360°/120° = 3, três hexágonos se encontram perfeitamente em cada vértice. Nos demais modelos, 360° não é um múltiplo inteiro do respectivo ângulo interno.
O aluno calcula o ângulo interno do pentágono (108°) mas faz a soma de forma errada, achando que três ângulos completam 360°, quando na verdade 3 x 108° = 324°.
O aluno confunde o ângulo interno com o resultado de 360° dividido pelo número de lados, que na verdade fornece o ângulo central ou externo (40° no nonágono). O ângulo interno correto é 140°, e esse valor não divide 360°.
Raio-X da questão
ladrilhamento com polígonos regulares
avaliacao
ângulos internos de polígonos · soma dos ângulos ao redor do vértice
estude ângulos internos de polígonos regulares e condições para ladrilhamento
Confundir a soma dos ângulos ao redor do vértice ou interpretar incorretamente a condição para ladrilhamento.
pensamento_critico
cotidiano
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