Em um projeto de revitalização de uma praça brasileira, estudantes analisaram ladrilhamentos formados por…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um projeto de revitalização de uma praça brasileira, estudantes analisaram ladrilhamentos formados por polígonos regulares congruentes. Um ladrilhamento do plano deve cobrir toda a superfície sem sobreposições nem espaços vazios. Para que isso ocorra com um único tipo de polígono regular, a soma dos ângulos internos que se encontram em cada vértice deve ser exatamente 360°. No estudo, foram considerados o triângulo equilátero, o quadrado, o pentágono regular e o hexágono regular. Com base no texto e nas propriedades dos ângulos internos dos polígonos regulares, qual dos polígonos listados não pode ladrilhar o plano isoladamente, sem deixar espaços vazios?
- A) Triângulo equilátero
- B) Quadrado
- C) Nenhum dos polígonos apresentados
- D) Pentágono regular
- E) Hexágono regular
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Para ladrilhar o plano com um único polígono regular, a soma dos ângulos internos em cada vértice deve ser 360°, ou seja, 360 deve ser múltiplo do ângulo interno do polígono. Passo 2: Calculo o ângulo interno de cada polígono pela fórmula ((n-2) x 180)/n. Triângulo equilátero (n=3): 60°. Quadrado (n=4): 90°. Pentágono regular (n=5): 108°. Hexágono regular (n=6): 120°. Passo 3: Verifico a divisão de 360 pelo ângulo interno. 360/60 = 6 (inteiro, o triângulo ladrilha). 360/90 = 4 (inteiro, o quadrado ladrilha). 360/120 = 3 (inteiro, o hexágono ladrilha). 360/108 = 3,33... (não inteiro, o pentágono não ladrilha). Passo 4: Conclusão: o pentágono regular é o polígono que não pode ladrilhar o plano isoladamente, pois não há quantidade inteira de pentágonos que some exatamente 360° em um vértice, o que deixaria espaços vazios ou causaria sobreposições. Passo 5: Por que as outras estão erradas: o triângulo equilátero ladrilha porque seis ângulos de 60° somam 360°; o quadrado ladrilha porque quatro ângulos de 90° somam 360°; o hexágono regular ladrilha porque três ângulos de 120° somam 360°; e a alternativa C está errada porque existe um polígono que não ladrilha, o pentágono. O gabarito oficial D está correto.
💡 Dica: Lembre-se dos polígonos que podem preencher o plano sem lacunas.
Alternativa por alternativa
O aluno pode acreditar que o triângulo não cobre o plano sem falhas, talvez por achar que triângulos sempre deixam lacunas ao serem encaixados, sem verificar que 6 ângulos de 60° somam 360°.
O aluno pode supor que o quadrado, por ser um ladrilho comum no dia a dia, não atende à condição de 360° sem calcular 4 x 90 = 360, ou pode confundir o critério exigido pelo texto.
Por que engana: Confundir polígonos que podem formar ladrilhamento sem lacunas com os que não podem.
O aluno pode generalizar que todo polígono regular ladrilha o plano, sem aplicar o teste da divisão de 360° pelo ângulo interno de cada polígono.
O ângulo interno de um pentágono regular mede 108°. Como 360° ÷ 108° não é um número inteiro, não é possível reunir pentágonos regulares congruentes em torno de um vértice sem formar sobreposições ou lacunas. Portanto, o pentágono regular não ladrilha o plano isoladamente. Já o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular têm ângulos internos de 60°, 90° e 120°, respectivamente, e permitem completar 360° em cada vértice.
O aluno pode confundir a soma dos ângulos internos do hexágono (720°) com o ângulo interno de cada vértice e concluir errado sobre a divisibilidade por 360, ou pode ter feito a conta de 360/120 incorretamente.
Raio-X da questão
ladrilhamento com polígonos regulares
diagnostico
polígonos regulares · tesselação do plano
Estude quais polígonos regulares podem tesselar o plano sem espaços.
Confundir polígonos que podem formar ladrilhamento sem lacunas com os que não podem.
tomada_decisao
cotidiano
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