Por que alguns serviços oferecem mensalidades que aumentam com o tempo em vez de cobrarem valor fixo? Dados de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e associar progressões aritméticas (PA) a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que alguns serviços oferecem mensalidades que aumentam com o tempo em vez de cobrarem valor fixo? Dados de uma operadora fictícia mostram duas opções para streaming de filmes. No plano Fixo, o cliente paga sempre R$ 120,00 por mês. No Plano Progressivo, paga-se R$ 80,00 no primeiro mês e, a cada mês subsequente, o valor aumenta R$ 5,00 em relação ao mês anterior. Considere que n representa o número de meses de assinatura. A partir das informações, determine em que mês o valor do Plano Progressivo ultrapassa o valor do Plano Fixo.
- A) No 10o mes
- B) No 11o mes
- C) No 8o mes
- D) No 9o mes
- E) No 12o mes
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Escrevo o valor do Plano Progressivo no mês n. No mês 1 paga-se 80 e cada mês seguinte soma 5, então o valor no mês n é 80 + 5(n - 1), que simplifica para 75 + 5n. O Plano Fixo custa sempre 120. Passo 2: Pergunto para qual n o progressivo fica maior que o fixo, ou seja, 75 + 5n > 120. Passo 3: Isolo n: 5n > 45, logo n > 9. Passo 4: Verifico os valores vizinhos. No mês 9 o progressivo vale 75 + 45 = 120, igual ao fixo, então ainda não ultrapassa. No mês 10 vale 75 + 50 = 125, maior que 120, então é o primeiro mês em que ultrapassa. Passo 5: Conclusão: o Plano Progressivo ultrapassa o Plano Fixo no 10º mês, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B (11º mês) escolhe um mês depois do primeiro em que a ultrapassagem ocorre; C (8º mês) confunde a igualdade com a ultrapassagem e ainda esquece que o primeiro aumento só começa no segundo mês; D (9º mês) usa a fórmula 80 + 5n, esquecendo que o valor do primeiro mês já é 80, e portanto calcula 125 onde deveria haver 120; E (12º mês) não corresponde a nenhum ponto de cruzamento da sequência e indica erro ao montar a relação entre os valores.
💡 Dica: Compare as expressões dos custos mensais e encontre o mês em que o plano progressivo ultrapassa o fixo.
Alternativa por alternativa
Para Plano Progressivo U_n=80+5(n-1); U_n>120 ?5(n-1)>40 ?n-1>8 ?n>9, logo a partir do 10o mês ultrapassa R$120.
O aluno percebe que o progressivo passa do fixo em torno do 10º mês, mas acredita que a ultrapassagem só ocorre um mês depois, ou seja, desloca o resultado em uma unidade ao contar os meses.
O aluno iguala 80 + 5n a 120 e conclui que n = 8 já é o momento de ultrapassagem, tratando a igualdade como se fosse superioridade e usando 80 como se o primeiro aumento ocorresse no mês 1.
O aluno modela o valor do progressivo como 80 + 5n, o que dá 125 no 9º mês, e assim antecipa a ultrapassagem; ele ignora que o valor do mês n é 80 + 5(n - 1).
Por que engana: Confundir o mês em que os valores se igualam com o mês em que o plano progressivo ultrapassa o fixo, ou erro no cálculo do aumento mensal.
O aluno erra ao montar ou resolver a inequação, por exemplo confundindo o incremento mensal de R$ 5,00 com outro valor ou inventando uma proporção sem relação com os dados do enunciado.
Raio-X da questão
função afim, progressão aritmética
avaliacao
progressão aritmética básica · função afim
Estude progressão aritmética e comparação de funções lineares.
Confundir o mês em que os valores se igualam com o mês em que o plano progressivo ultrapassa o fixo, ou erro no cálculo do aumento mensal.
tomada_decisao
cotidiano
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