Ao escavar um sítio neolítico, arqueólogos encontraram fragmentos ósseos e utilizaram datação por carbono-14…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias digitais, entre as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, crescimento) de cada função.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Ao escavar um sítio neolítico, arqueólogos encontraram fragmentos ósseos e utilizaram datação por carbono-14. A concentração de carbono-14 em um organismo decai segundo N(t)=N0·(1/2)^(t/5730), onde t é o tempo em anos. Em laboratório, mediu-se a razão N(t)/N0 igual a 0,30. Dados ilustrativos: t=0 ? 1, t=5730 ? 0,50; t=11 460 ? 0,25; t=17 190 ? 0,125. Analise o texto-base e determine, por meio da função logarítmica inversa, a idade aproximada do fragmento ósseo em anos.
- A) cerca de 4 200 anos
- B) cerca de 9 955 anos
- C) cerca de 8 200 anos
- D) cerca de 16 000 anos
- E) cerca de 14 460 anos
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- A função dada é N(t) = N0·(1/2)^(t/5730). Como a razão N(t)/N0 é 0,30, temos (1/2)^(t/5730) = 0,30. Passo 2: Aplicando logaritmo, a inversa é t/5730 = log2(1/0,30), ou seja, t = 5730·log2(1/0,30). Passo 3: Usando mudança de base, log2(1/0,30) = ln(1/0,30)/ln(2) = 1,20397/0,69315 ≈ 1,73697. Passo 4: Logo t ≈ 5730 · 1,73697 ≈ 9953 anos. Esse valor fica entre 8 000 e 11 460 anos, o que é coerente com os dados ilustrativos: 0,50 corresponde a 5730 anos e 0,25 a 11 460 anos, e 0,30 está entre esses dois valores, mais perto de 0,25. Passo 5: Conferindo as alternativas, a B (cerca de 9 955 anos) é a única compatível com o cálculo; a diferença de dois anos em relação ao 9 953 obtido vem apenas de arredondamentos. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A (4 200 anos) fica abaixo da meia-vida e corresponderia a uma razão próxima de 0,6; C (8 200 anos) subestima o tempo pois exigiria razão maior que 0,30; D (16 000 anos) ultrapassa o tempo associado a 0,125, que é 17 190 anos, e a razão 0,30 está bem acima desse valor; E (14 460 anos) excede o tempo de 0,25 sem justificativa, pois 0,30 é maior que 0,25 e, portanto, o tempo deve ser menor que 11 460 anos. Passo 7: Conclusão: a idade aproximada do fragmento é cerca de 9 955 anos, alternativa B, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use a fórmula da meia-vida e logaritmos para calcular o tempo t.
Alternativa por alternativa
Provavelmente tratou o decaimento como se a razão 0,30 correspondesse a um tempo bem menor que a meia-vida, sem aplicar corretamente o expoente t/5730. Também pode ter usado uma proporção direta mal montada.
Resolve t=5730·log(0,30)/log(1/2)˜5730·1,737˜9 955 anos, usando log inverso da função exponencial.
Provavelmente supôs que o decaimento variava de forma linear entre os pontos dados, em vez de exponencial, e estimou o tempo por interpolação simples. Isso subestima a idade porque a perda de carbono-14 é mais rápida no início.
Por que engana: Confundir a fórmula da meia-vida ou aplicar logaritmos incorretamente ao calcular o tempo t.
Provavelmente leu os dados ilustrativos de forma imprecisa e tomou 0,30 como se estivesse próximo de 0,125, arredondando para um tempo muito alto. Também pode ter feito uma extrapolação grosseira a partir de t = 17 190.
Provavelmente confundiu 0,30 com 0,25 e, em vez de calcular o logaritmo, somou um valor arbitrário ao tempo 11 460 anos. Isso indica uma estimativa sem base no cálculo da função inversa.
Raio-X da questão
decadência radioativa e logaritmos
avaliacao
função exponencial e logaritmos · meia-vida e decaimento radioativo
Estude a função exponencial e logaritmos aplicados à meia-vida
Confundir a fórmula da meia-vida ou aplicar logaritmos incorretamente ao calcular o tempo t.
pensamento_critico
cientifico
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