Uma plataforma brasileira de cursos on-line acompanhou, nos seis primeiros meses após o lançamento de uma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2º grau do tipo y = ax2.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma plataforma brasileira de cursos on-line acompanhou, nos seis primeiros meses após o lançamento de uma campanha, a quantidade de novos assinantes. Os dados, em milhares, foram registrados assim: no 1º mês, 5; no 2º, 8; no 3º, 12; no 4º, 17; no 5º, 23; e no 6º, 30. As diferenças entre as quantidades de meses consecutivos são 3, 4, 5, 6 e 7, respectivamente. Admita que esse padrão continue nos meses seguintes. Com base nos dados apresentados, qual expressão representa o número S(n), em milhares, de novos assinantes no mês n?
- A) S(n) = (n² + 3n + 4)/2
- B) S(n) = (n² + 2n + 8)/2
- C) S(n) = (n² + 3n + 6)/2
- D) S(n) = (n² + 4n + 4)/2
- E) S(n) = (n² + 4n + 6)/2
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique o padrão. Os termos são S(1)=5, S(2)=8, S(3)=12, S(4)=17, S(5)=23 e S(6)=30, e as diferenças entre meses consecutivos são 3, 4, 5, 6 e 7. A diferença entre S(k+1) e S(k) é k+2. Passo 2: Escreva S(n) como o primeiro termo mais a soma das diferenças: S(n) = 5 + soma de (k+2) para k de 1 até n-1. Passo 3: Calcule a soma. A soma de k de 1 até n-1 é (n-1)n/2, e a soma de 2 repetida (n-1) vezes é 2(n-1). Logo S(n) = 5 + (n²-n)/2 + 2n - 2 = (n² + 3n + 6)/2. Passo 4: Confira com os dados. Para n=1, (1+3+6)/2 = 5. Para n=2, (4+6+6)/2 = 8. Para n=3, (9+9+6)/2 = 12. Para n=6, (36+18+6)/2 = 30. Todos batem, então a alternativa C está correta e coincide com o gabarito. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A dá 4 para n=1, pois a constante está errada. B dá 5,5 para n=1, pois o coeficiente de n está errado. D dá 4,5 para n=1, pois o coeficiente de n foi tomado como 4. E dá 11/2 para n=1 e 9 para n=2, pois o coeficiente de n está errado.
💡 Dica: Analise as diferenças entre termos para identificar a fórmula da sequência.
Alternativa por alternativa
Acertou o termo em n² e o coeficiente de n, mas errou a constante ao substituir n=1 ou ao somar os termos, obtendo S(1)=4 em vez de 5.
Calculou o termo linear como 2n em vez de 3n, provavelmente ao somar apenas os acréscimos fixos e ignorar a parte que cresce com n. Por isso o valor de S(1) sai fracionário (5,5).
Por que engana: Confundir a sequência com progressão geométrica ou aplicar fórmula incorreta para diferenças crescentes.
As diferenças entre os termos consecutivos são 3, 4, 5, 6 e 7. Assim, do mês n para o mês n+1, o acréscimo é n + 2. Partindo de S(1) = 5, para n ≥ 1, temos S(n) = 5 + 3 + 4 + ... + (n + 1). Essa soma pode ser escrita como S(n) = 5 + [n(n - 1)]/2 + 2(n - 1), que resulta em S(n) = (n² + 3n + 6)/2. A expressão reproduz os seis valores da tabela e mantém o padrão das diferenças.
Confundiu os valores das diferenças com os coeficientes da fórmula, usando 4n como termo linear. Isso leva a S(1)=4,5, que não é número inteiro de assinantes.
Escolheu o coeficiente 4 para o termo linear e a constante 6, sem verificar a fórmula nos dados. Com isso S(2) dá 9 em vez de 8.
Raio-X da questão
sequência aritmética e fórmula geral
avaliacao
progressão aritmética · função quadrática
Estude progressões aritméticas e como encontrar expressões gerais.
Confundir a sequência com progressão geométrica ou aplicar fórmula incorreta para diferenças crescentes.
pensamento_critico
abstrato
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