Uma iniciativa de educação midiática acompanhou a circulação de um vídeo produzido por um microinfluenciador…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma iniciativa de educação midiática acompanhou a circulação de um vídeo produzido por um microinfluenciador brasileiro. No instante da publicação, isto é, quando t = 0, o vídeo já apresentava 100 compartilhamentos acumulados. A partir desse instante, o total acumulado aumentava 20% a cada hora em relação ao total registrado na hora anterior. Assim, esse total pode ser modelado por S(t) = 100 · 1,2^t, em que t representa o número de horas completas transcorridas desde a publicação. Considere apenas valores inteiros de t. Com base no modelo apresentado, após quantas horas completas transcorridas desde a publicação o número acumulado de compartilhamentos ultrapassará 500 pela primeira vez?
- A) 9 horas
- B) 10 horas
- C) 8 horas
- D) 7 horas
- E) 20 horas
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A condição é S(t) > 500, ou seja, 100 · 1,2^t > 500. Dividindo os dois lados por 100, obtemos 1,2^t > 5. Passo 2: Calculamos as potências de 1,2 com t inteiro. Para t = 7, 1,2^7 é aproximadamente 3,58, então S(7) é cerca de 358. Para t = 8, 1,2^8 é aproximadamente 4,30, então S(8) é cerca de 430. Para t = 9, 1,2^9 é aproximadamente 5,16, então S(9) é cerca de 516. Passo 3: Como 430 é menor que 500 e 516 é maior que 500, o primeiro valor inteiro de t em que o total ultrapassa 500 é t = 9. Passo 4: Conferindo pelo logaritmo, t > ln5 / ln1,2, que é aproximadamente 1,609 / 0,182, ou seja, t > 8,83. O menor inteiro que satisfaz essa condição é 9, o que confirma o resultado. Passo 5: Sobre as alternativas erradas: a B (10 horas) ultrapassa o primeiro instante, pois já em 9 horas o total passa de 500. A C (8 horas) não serve, pois S(8) é cerca de 430, abaixo de 500. A D (7 horas) não serve, pois S(7) é cerca de 358. A E (20 horas) confunde o tempo com o percentual de 20% do enunciado, sem relação com a condição. Conclusão: a alternativa correta é a A, de acordo com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use a fórmula exponencial para calcular o tempo em que os compartilhamentos ultrapassam 500.
Alternativa por alternativa
É necessário encontrar o menor número inteiro t para o qual 100 · 1,2^t > 500. Calculando os valores próximos ao limite: S(8) = 100 · 1,2^8 ≈ 429,98, que ainda não ultrapassa 500; S(9) = 100 · 1,2^9 ≈ 515,98, que ultrapassa 500. Portanto, o número de compartilhamentos ultrapassa 500 após 9 horas completas.
O aluno calcula corretamente que o total passa de 500 no intervalo próximo de 9 horas, mas escolhe o instante seguinte, achando que deve ser o próximo inteiro após uma verificação incompleta, ou erra a potência 1,2^9.
O aluno faz uma aproximação grosseira de 1,2^8 e conclui que ele vale cerca de 5, o que daria 500 exatamente em t = 8, sem verificar que o valor real é cerca de 4,30 e que o total ainda está abaixo de 500.
O aluno estima mal a potência, supondo que 1,2^7 já ultrapassa 5 ou confundindo o crescimento de 20% por hora com um crescimento linear, e assim chega a um valor de t menor do que o correto.
O aluno confunde o número 20 do aumento percentual de 20% com o tempo em horas, tomando o valor do enunciado como resposta sem resolver a inequação 1,2^t > 5.
Raio-X da questão
crescimento exponencial
avaliacao
função exponencial · porcentagem e crescimento percentual
Estude funções exponenciais e cálculo de potências.
Confundir crescimento percentual com crescimento absoluto ou erro ao aplicar a fórmula exponencial.
tomada_decisao
cotidiano
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