Matemática2ª sérieBNCC EM13MAT310Difícil⏱ medio

Relatório de segurança residencial descreve que fechaduras eletrônicas adotam códigos numéricos de duas…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT310

Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Relatório de segurança residencial descreve que fechaduras eletrônicas adotam códigos numéricos de duas posições, formados por algarismos de 0 a 9, sem repetição. Cada novo usuário recebe um código aleatório que atende a essas regras. Para avaliar a robustez do sistema, a equipe registrou todos os códigos possíveis. O relatório enfatiza que cada código deve ter dois algarismos distintos e que a ordem em que aparecem diferencia códigos. Considere as informações do relatório e calcule quantos códigos de duas casas podem ser formados sem repetir algarismos.

A) 45
B) 90
C) 81
D) 100
E) 20

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

Identifique as regras do enunciado. Cada código tem 2 posições, os algarismos vão de 0 a 9 (10 opções), não pode haver repetição e a ordem diferencia os códigos, ou seja, 12 e 21 são códigos distintos.
Escolha o primeiro algarismo. Como há 10 algarismos disponíveis, existem 10 possibilidades.
Escolha o segundo algarismo. Como o algarismo não pode repetir o primeiro, sobram 9 possibilidades.
Pelo princípio multiplicativo, o total de códigos é 10 x 9 = 90. Esse é o número de arranjos de 10 elementos tomados 2 a 2.
Conclusão. A alternativa correta é a B (90), que coincide com o gabarito oficial.
Por que as outras estão erradas. A alternativa A (45) seria a resposta se a ordem não importasse, o que o enunciado proíbe expressamente. A alternativa C (81) corresponderia a 9 x 9 e não respeita a contagem correta do segundo algarismo. A alternativa D (100) ignora a restrição de não repetição, pois 10 x 10 permite códigos como 11. A alternativa E (20) não corresponde a nenhum raciocínio válido para este problema.

💡 Dica: Calcule as permutações de 2 algarismos distintos entre 0 e 9.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Conceituala que mais engana

O aluno calculou a combinação de 10 algarismos tomados 2 a 2 (10 x 9 / 2), tratando 12 e 21 como o mesmo código, quando o enunciado diz que a ordem diferencia os códigos.

Por que engana: Confundir permutação com combinação, ou esquecer que a ordem importa e que não pode haver repetição.

B Correta

Há 10 opções para o primeiro algarismo e 9 para o segundo, totalizando 10×9 = 90 códigos distintos.

C Erradaerro: Procedimental

O aluno fez 9 x 9, provavelmente excluindo indevidamente o zero de uma das posições ou descontando o algarismo repetido de forma errada, sem aplicar corretamente a regra de 10 opções seguidas de 9.

D Erradaerro: Interpretação

O aluno calculou 10 x 10, esquecendo que o segundo algarismo não pode repetir o primeiro e ignorando a restrição 'sem repetir algarismos' do enunciado.

E Erradaerro: Procedimental

O aluno obteve 20 por uma operação sem correspondência com a contagem, como somar ou multiplicar valores pequenos (por exemplo 10 x 2), sem modelar as duas posições ordenadas e distintas.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Entender

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

Permutação sem repetição

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

Princípio fundamental da contagem · Permutação simples

📚 Reveja

Estude permutação e contagem sem repetição.

⚠️ Erro mais comum

Confundir permutação com combinação, ou esquecer que a ordem importa e que não pode haver repetição.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

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