— Estou inseguro sobre a segurança do meu código de desbloqueio, disse Mariana ao técnico. Ela deseja usar um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Estou inseguro sobre a segurança do meu código de desbloqueio, disse Mariana ao técnico. Ela deseja usar um PIN de quatro dígitos, escolhendo entre os dez algarismos (0–9). O técnico explicou que, se nenhum dígito se repetir, o número de combinações possíveis é dado pelo produto 10×9×8×7. Caso permita repetições, o total seria 10×10×10×10. A partir do texto-base, identifique o número de códigos de quatro dígitos possíveis sem repetição de dígitos.
- A) 504
- B) 10000
- C) 720
- D) 5040
- E) 362880
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- O enunciado pede a quantidade de PINs de quatro dígitos sem repetição, escolhidos entre os dez algarismos de 0 a 9. Passo 2: Na primeira posição há 10 opções possíveis. Passo 3: Como não pode haver repetição, na segunda posição sobram 9 opções, pois um dígito já foi usado. Passo 4: Na terceira posição sobram 8 opções e na quarta, 7 opções. Passo 5: Pelo princípio multiplicativo, o total é 10 x 9 x 8 x 7 = 5040, que corresponde à alternativa D. Passo 6: A alternativa A (504) está errada porque corresponde a 9 x 8 x 7, ou seja, deixa de considerar uma das quatro posições. A alternativa B (10000) está errada porque é o total com repetição, 10 x 10 x 10 x 10, que não se aplica ao caso sem repetição. A alternativa C (720) está errada porque é 10 x 9 x 8, o que resulta em códigos de apenas três dígitos. A alternativa E (362880) está errada porque é 9!, o fatorial de 9, que não representa a escolha de quatro dígitos a partir de dez. O gabarito oficial D está correto e coincide com a resolução feita de forma independente.
💡 Dica: Calcule o número de permutações sem repetição dos dígitos.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou 9 x 8 x 7, deixando de contar a primeira posição do PIN. Ele provavelmente achou que o primeiro dígito já estava determinado ou confundiu o número de posições.
O aluno aplicou o cálculo com repetição permitida (10^4), ignorando a condição do enunciado de que nenhum dígito pode se repetir.
O aluno calculou 10 x 9 x 8, formando apenas códigos de três dígitos, e esqueceu a quarta posição do PIN.
Por que engana: Confundir permutação com combinação ou calcular com repetições quando não permitido.
10×9×8×7 = 5040 corresponde ao princípio multiplicativo sem repetição.
O aluno usou o fatorial de 9 (9!), como se estivesse permutando todos os nove dígitos, sem perceber que o PIN tem apenas quatro posições escolhidas entre dez algarismos.
Raio-X da questão
Permutação sem repetição
avaliacao
Princípio multiplicativo · Permutação simples
Estude permutação e contagem sem repetição.
Confundir permutação com combinação ou calcular com repetições quando não permitido.
tomada_decisao
cotidiano
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