Manchete ficticia: Galeria itinerante amplia portfólio de estandes modulares A Galeria Aurora lançou um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Manchete ficticia: Galeria itinerante amplia portfólio de estandes modulares A Galeria Aurora lançou um serviço de aluguel de divisórias modulares para feiras de arte. Cada cliente recebe 60 metros lineares de painéis que podem ser montados formando um estande retangular. Se a largura do estande mede x metros e a profundidade mede y metros, a galeria garante que x+ y = 30. O espaço de exposição corresponde à área A(x)= x·y. Analise o texto-base e determine o valor de x que maximiza a área do estande.
- A) 12 m
- B) 30 m
- C) 15 m
- D) 10 m
- E) 20 m
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Os dados do enunciado são x + y = 30 e A(x) = x·y, com x e y em metros. Como y = 30 - x, a área fica A(x) = x(30 - x) = 30x - x^2.
- A função A(x) = -x^2 + 30x é uma parábola com concavidade para baixo, pois o coeficiente de x^2 é negativo. Logo, ela tem um ponto de máximo no vértice.
- A coordenada do vértice é x = -b/(2a) = -30/(2·(-1)) = 15. Assim, a área máxima ocorre quando x = 15 m.
- Verificação: para x = 15, y = 15 e A = 225 m^2. Para x = 12, y = 18 e A = 216 m^2, que é menor. Para x = 20, y = 10 e A = 200 m^2, também menor. Isso confirma que 15 m é o máximo.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa A (12 m) gera área 216 m^2, menor que 225; a alternativa B (30 m) faria y = 0, anulando a área; a alternativa D (10 m) gera área 200 m^2; a alternativa E (20 m) também gera área 200 m^2.
- O gabarito oficial C está correto. A resposta é x = 15 m, que corresponde a um estande quadrado de 15 m por 15 m, situação em que a área de um retângulo com soma de lados fixa é máxima.
💡 Dica: Use a relação x + y = 30 para expressar a área em função de x e maximize a função.
Alternativa por alternativa
O aluno supõe que a área máxima ocorre com um dos lados bem menor que o outro, sem derivar nem testar a função, e escolhe um valor arbitrário próximo de um terço da soma.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre x e y ou não aplicar corretamente a maximização da função área.
O aluno acredita que, quanto maior a largura, maior a área, sem perceber que, com x = 30, a profundidade y = 0 e a área zera.
A função quadrática A(x)= x(30–x) atinge máximo no vértice x=30/2=15.
O aluno tenta dividir a soma 30 por 3 ou usa uma estimativa sem montar a expressão 30x - x^2, o que leva a um valor que não maximiza a área.
O aluno confunde os papéis de x e y e supõe que a largura deve ser o lado maior do estande, sem testar as duas possibilidades.
Raio-X da questão
maximização de área retangular
avaliacao
função quadrática · derivada e otimização
estude funções quadráticas e maximização de áreas
O aluno pode confundir a relação entre x e y ou não aplicar corretamente a maximização da função área.
pensamento_critico
cotidiano
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