— Curadora: “Precisamos estimar o espaço interno ocupado por duas peças: um cilindro maciço e um cone maciço…

Questão

— Curadora: “Precisamos estimar o espaço interno ocupado por duas peças: um cilindro maciço e um cone maciço, ambos com raio da base igual a 3 m e altura igual a 5 m.” — Matemático: “Aplicando o princípio de Cavalieri, verificamos que, para cada altura h, a área da sec¸ão transversal do cilindro e´ constante e igual a p·3^2, enquanto a do cone e´ p·[3·(1-h/5)]^2. Integrando de h=0 a h=5, obtemos suas medidas de volume.” Conclua o valor do volume do cone descrito no texto-base, em metros cúbicos, em função de p.

1. A) 30p m^3
2. B) 75p m^3
3. C) 45p m^3
4. D) 60p m^3
5. E) 15p m^3

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. O texto-base indica que p representa o número pi. O cone tem raio da base 3 m e altura 5 m, e a seção transversal à altura h tem área p·[3·(1-h/5)]^2, que diminui de p·9 na base até zero no vértice.
2. Pela fórmula clássica do cone, V = (1/3)·área da base·altura = (1/3)·p·3^2·5 = (1/3)·p·9·5 = 15p m^3.
3. Confirmando pelo método de Cavalieri, calculamos a integral de 0 a 5 de p·9·(1-h/5)^2 dh. Fazendo a substituição u = 1-h/5, obtemos 9p·5·∫ de 0 a 1 de u^2 du = 45p·(1/3) = 15p m^3.
4. Assim, a resposta correta é a alternativa E, 15p m^3, o que coincide com o gabarito oficial.
5. Por que as outras estão erradas: A (30p) corresponde a um cálculo com altura dobrada; B (75p) corresponde a elevar ao quadrado o produto raio·altura antes de dividir por 3; C (45p) é justamente o volume do cilindro de mesma base e altura, que não serve para o cone; D (60p) corresponde a usar o diâmetro 6 no lugar do raio 3 na fórmula do cone.

💡 Dica: Use a integral da área da seção transversal para calcular o volume do cone.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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