— Estou avaliando opções para ir ao trabalho todos os dias considerando dois serviços de transporte. O táxi…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 1º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Estou avaliando opções para ir ao trabalho todos os dias considerando dois serviços de transporte. O táxi cobra tarifa fixa de R$ 2,00 de bandeirada mais R$ 2,50 por quilômetro rodado. O serviço de ônibus particular tem tarifa fixa de R$ 5,00 mais R$ 1,50 por quilômetro percorrido. Representando o custo total em reais por distância x em quilômetros, temos duas funções lineares cujos gráficos se intersectam em um ponto no plano cartesiano. Analise o texto e identifique o ponto de interseção das funções de custo no plano cartesiano.
- A) O par ordenado (9.5, 3)
- B) O par ordenado (3, 8.5)
- C) O par ordenado (3, 9.5)
- D) O par ordenado (4, 12)
- E) O par ordenado (2, 7)
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Escrevo as funções de custo. Táxi: T(x) = 2 + 2,5x. Ônibus particular: O(x) = 5 + 1,5x, em que x é a distância em quilômetros.
- Para encontrar a interseção, igualo os custos: 2 + 2,5x = 5 + 1,5x.
- Isolo x: 2,5x - 1,5x = 5 - 2, ou seja, x = 3 km.
- Calculo o custo nesse ponto usando qualquer das funções. Em T(3) = 2 + 2,5 · 3 = 2 + 7,5 = 9,5. Conferindo em O(3) = 5 + 1,5 · 3 = 5 + 4,5 = 9,5, que coincide.
- Logo, o ponto de interseção é (3; 9,5), que corresponde à alternativa C. Confirmei o resultado por conta própria e ele coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A troca as coordenadas, pois x é a distância e y é o custo; B tem o custo errado para x = 3, já que o valor correto é 9,5; D apresenta um ponto que pertence apenas à reta do táxi (T(4) = 12), mas O(4) = 11, então não há interseção ali; E usa x = 2, onde os custos são T(2) = 7 e O(2) = 8, portanto as retas não se cruzam nesse ponto.
💡 Dica: Formule as funções de custo e iguale para encontrar o ponto de interseção.
Alternativa por alternativa
O aluno encontrou corretamente o valor de x = 3 e o custo 9,5, mas escreveu as coordenadas invertidas, tratando a distância como ordenada e o custo como abscissa.
O aluno acertou a abscissa x = 3, mas errou o cálculo do custo, obtendo 8,5 em vez de 9,5 ao substituir x na função, possivelmente por erro na multiplicação de 2,5 por 3 ou na soma da bandeirada.
Por que engana: Confundir as variáveis ou não igualar corretamente as funções para encontrar o ponto de interseção.
Em x=3: 2+2.5·3=9.5 e 5+1.5·3=9.5, logo o ponto de intersecção é (3,9.5).
O aluno confunde ponto de interseção com qualquer ponto pertencente a uma das retas: substituiu x = 4 apenas na função do táxi (2 + 2,5 · 4 = 12) e não verificou a outra função, que daria 11.
O aluno supõe que a interseção ocorre em um valor pequeno e simples de x, e apenas soma as tarifas fixas (2 + 5 = 7) sem resolver a igualdade entre as duas funções, o que mostra que não entendeu como determinar o ponto de encontro das retas.
Raio-X da questão
funções lineares e interseção
avaliacao
função linear · sistema de equações
Estude funções lineares e como encontrar pontos de interseção entre elas.
Confundir as variáveis ou não igualar corretamente as funções para encontrar o ponto de interseção.
pensamento_critico
cotidiano
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