Por que a escolha do preço de ingresso pode influenciar o equilíbrio financeiro de um cinema? Segundo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que a escolha do preço de ingresso pode influenciar o equilíbrio financeiro de um cinema? Segundo levantamento interno, o gerente estimou que a demanda por ingressos segue a função D(p)=–10p+500, em que p é o preço em reais. Os custos fixos mensais somam R$2000. Com esses dados, o lucro mensal é dado por L(p)=p·D(p)–2000. A partir das informações apresentadas, identifique o preço de ingresso que maximiza o lucro mensal do cinema.
- A) R$25
- B) R$27,50
- C) R$30
- D) R$20
- E) R$22,50
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Escreva o lucro em função do preço. L(p) = p·D(p) - 2000 = p·(-10p + 500) - 2000 = -10p^2 + 500p - 2000. Passo 2: Reconheça que L(p) é uma função do segundo grau com coeficiente a = -10, negativo, então sua parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo. Passo 3: Calcule a abscissa do vértice: p = -b/(2a) = -500/(2·(-10)) = -500/(-20) = 25. Passo 4: Verifique: L(25) = -10·625 + 500·25 - 2000 = -6250 + 12500 - 2000 = 4250 reais, e os valores vizinhos dão lucro menor (por exemplo, L(20) = 4000 e L(30) = 4000). Passo 5: Conclusão: o preço que maximiza o lucro mensal é R$25, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: R$27,50 e R$30 estão acima do vértice, onde o lucro já começa a cair; R$20 e R$22,50 estão abaixo do vértice, onde o lucro ainda não atingiu o máximo. Os custos fixos de R$2000 deslocam o lucro para baixo, mas não mudam a abscissa do vértice, portanto não alteram o preço ótimo.
💡 Dica: Calcule o lucro e encontre o preço que o maximiza usando derivada ou análise da função quadrática.
Alternativa por alternativa
Vértice da parábola L(p)=–10p^2+500p–2000 ocorre em p=–b/(2a)=–500/(2·â€“10)=25 reais.
O aluno provavelmente calculou mal o vértice da parábola, obtendo um valor que não corresponde a -b/(2a) com b = 500 e a = -10. Pode também ter tentado estimar o máximo por tentativa sem verificar a derivada ou o vértice.
Por que engana: Escolher preço sem calcular o ponto de máximo da função lucro, confundindo aumento de preço com aumento de lucro.
O aluno provavelmente acredita que os custos fixos de R$2000 influenciam o preço ótimo, ou que o preço que maximiza a receita é o mesmo que maximiza o lucro. O preço ótimo depende apenas dos termos variáveis da função lucro.
O aluno provavelmente imagina que, reduzindo o preço, o lucro cresce indefinidamente porque a demanda aumenta, sem perceber que a queda de receita por ingresso passa a superar o ganho de público. Pode também ter escolhido um valor que gera demanda de 300 ingressos sem analisar o lucro.
O aluno provavelmente escolheu um valor intermediário entre alternativas próximas (como a média entre R$20 e R$25) sem calcular o vértice, ou tentou usar um ponto médio que não tem relação com o máximo da parábola.
Raio-X da questão
maximização de lucro
avaliacao
função do 2º grau · noções de derivada
função do 2º grau e derivadas para otimização
Escolher preço sem calcular o ponto de máximo da função lucro, confundindo aumento de preço com aumento de lucro.
tomada_decisao
cotidiano
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