Trecho de relatório: Uma usina de tratamento de água utiliza dois reservatórios para armazenamento. O primeiro…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Trecho de relatório: Uma usina de tratamento de água utiliza dois reservatórios para armazenamento. O primeiro é um cilindro vertical com altura de 10 m e raio de base de 3 m. Para reduzir custos, projetistas desejam um segundo reservatório no formato de prisma triangular reto, com a mesma altura de 10 m e base triangular de lado 6 m. Aplicando o princípio de Cavalieri, o volume dos dois reservatórios deve ser igual. Com base no texto, determine a altura do triângulo da base do prisma para que seu volume seja igual ao do cilindro.
- A) 6pi metros
- B) 9pi metros
- C) 3pi metros
- D) 4,5pi metros
- E) 1,5pi metros
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Calcule o volume do cilindro. V = pi x r^2 x h = pi x 3^2 x 10 = 90pi m^3.
- Escreva o volume do prisma triangular reto. V = Area da base x altura do prisma. A base é um triângulo de base 6 m e altura h_t, logo Area = (6 x h_t)/2 = 3h_t. Como a altura do prisma é 10 m, V = 3h_t x 10 = 30h_t.
- Iguale os volumes, conforme o princípio de Cavalieri: 30h_t = 90pi.
- Isole h_t: h_t = 90pi / 30 = 3pi metros, que corresponde à alternativa C.
- Confira o resultado. Com h_t = 3pi (aproximadamente 9,42 m), a área do triângulo é 3 x 3pi = 9pi m^2 e o volume do prisma é 9pi x 10 = 90pi m^3, igual ao do cilindro.
- Por que as outras estão erradas. A (6pi) resulta de usar o lado 6 no lugar do raio 3 no cilindro e de esquecer a metade da área do triângulo. B (9pi) surge se a área do círculo (9pi) for tomada como a altura do triângulo. D (4,5pi) resulta de dividir 90pi por 20, usando a altura dobrada. E (1,5pi) resulta de esquecer a divisão por 2 da área do triângulo, o que dobra a área e reduz pela metade a altura.
- O gabarito oficial C está correto.
💡 Dica: Calcule o volume do cilindro e iguale ao volume do prisma para encontrar a altura do triângulo.
Alternativa por alternativa
Trocou o raio do cilindro (3 m) pelo lado da base triangular (6 m) e também esqueceu de dividir a área do triângulo por 2.
Por que engana: Confundir a fórmula do volume do prisma triangular ou esquecer de igualar os volumes corretamente.
Tomou a área do círculo (9pi) como se fosse uma medida de comprimento, confundindo área com altura do triângulo.
Volume do cilindro = pi*3^2*10 = 90pi. No prisma V = area_base*10, logo area_tri = 9pi. Como area_tri = (6*h)/2, h = (2*9pi)/6 = 3pi.
Dividiu o volume do cilindro por 20, contando a altura de 10 m duas vezes no cálculo do volume do prisma.
Esqueceu de dividir por 2 a área do triângulo (usou base x altura), dobrando a área e obtendo metade da altura correta.
Raio-X da questão
volume de sólidos geométricos
avaliacao
volume de cilindro · volume de prisma triangular
estude cálculo de volume de cilindro e prisma triangular
Confundir a fórmula do volume do prisma triangular ou esquecer de igualar os volumes corretamente.
tomada_decisao
cotidiano
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