Dados ilustrativos: um confeiteiro artesanal analisa como o lucro L, em reais, varia com o número x de bolos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dados ilustrativos: um confeiteiro artesanal analisa como o lucro L, em reais, varia com o número x de bolos vendidos em um evento de culinária local. Considerando custos de ingredientes, mão de obra e despesas fixas, ele ajustou os valores a um polinômio de 2º grau: L(x) = -5 x^2 + 150 x - 1000. Para planejar sua produção, ele deseja saber em que quantidade de vendas o lucro será máximo e qual será esse valor. Com base no texto, identifique as coordenadas do vértice da parábola que representa o lucro L(x).
- A) (30, 125)
- B) (15, 125)
- C) (15, -1000)
- D) (15, -125)
- E) (-15, 125)
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- A parábola L(x) = -5x^2 + 150x - 1000 tem a = -5, b = 150 e c = -1000. Como a é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e o vértice é ponto de máximo, o que corresponde ao lucro máximo que o confeiteiro procura.
- A abscissa do vértice é xv = -b/(2a) = -150/(2 * (-5)) = -150/(-10) = 15. Portanto, o lucro é máximo com a venda de 15 bolos.
- A ordenada do vértice é o valor de L(15) = -5 * 15^2 + 150 * 15 - 1000 = -5 * 225 + 2250 - 1000 = -1125 + 2250 - 1000 = 125. Assim, o vértice é (15, 125), que é a alternativa B.
- A alternativa A está errada, pois 30 é o resultado de -b/a (150/5) sem a divisão por 2 da fórmula do vértice.
- A alternativa C está errada, pois -1000 é o termo independente c, que é o ponto em que a parábola cruza o eixo vertical (L(0)), e não a ordenada do vértice.
- A alternativa D está errada, pois a abscissa 15 está correta, mas o valor de L(15) é 125 e não -125; o sinal foi trocado no cálculo.
- A alternativa E está errada, pois -15 surge ao ignorar o sinal negativo de a na fórmula -b/(2a); além disso, o valor máximo do lucro não pode ser atingido com quantidade negativa de bolos.
- Conclusão: o gabarito oficial B está correto. Resolvi a questão sem depender dele e obtive o mesmo resultado: vértice (15, 125), com lucro máximo de 125 reais ao vender 15 bolos.
💡 Dica: Calcule o vértice da parábola usando a fórmula x = -b/(2a) e substitua para encontrar o lucro máximo.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou -b/a (150/5 = 30) em vez de -b/(2a), esquecendo de dividir por 2 na fórmula da abscissa do vértice. Assim, confundiu a coordenada x do vértice com um valor sem significado no contexto.
Por que engana: Confundir o sinal do coeficiente 'b' na fórmula do vértice ou calcular incorretamente o valor do lucro substituindo x.
O vértice ocorre em x = -b/(2a) = -150/(2 · -5) = 15 e L(15) = -5·225 + 2250 -1000 = 125.
O aluno tomou o termo independente c = -1000 como se fosse a ordenada do vértice, confundindo o ponto onde a parábola corta o eixo vertical com o ponto de máximo.
O aluno encontrou corretamente x = 15, mas ao calcular L(15) errou o sinal do resultado final, obtendo -125 em vez de 125. Isso indica descuido na soma e subtração dos termos.
O aluno ignorou o sinal negativo de a ao aplicar -b/(2a), calculando -150/10 = -15 em vez de -150/(-10) = 15. Como o cálculo da abscissa é o passo central, o erro de sinal levou à alternativa errada.
Raio-X da questão
vértice da parábola
avaliacao
função quadrática · fórmula do vértice
Estude cálculo do vértice de funções quadráticas e interpretação de gráficos.
Confundir o sinal do coeficiente 'b' na fórmula do vértice ou calcular incorretamente o valor do lucro substituindo x.
tomada_decisao
cotidiano
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