Por que uma construção geométrica tão simples revela um padrão surpreendente? Considere uma sequência de…

Questão

Por que uma construção geométrica tão simples revela um padrão surpreendente? Considere uma sequência de figuras formadas por pontos: na figura 1 há 3 pontos, na figura 2 há 7 pontos, na figura 3 há 13 pontos e na figura 4 há 21 pontos. Observa-se que cada figura adiciona um número de pontos que cresce de forma regular: 4, 6, 8, 10, ... . A partir desse padrão, é possível estabelecer uma regra explícita para calcular a quantidade de pontos na enésima figura sem recorrer ao valor anterior. Analise o texto-base e determine o valor do décimo termo da sequência de pontos.

1. A) 39
2. B) 111
3. C) 201
4. D) 57
5. E) 101

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Calculamos as diferenças entre termos consecutivos: 7-3=4, 13-7=6 e 21-13=8. As diferenças crescem de 2 em 2, ou seja, a segunda diferença é constante (igual a 2). Isso indica que a regra do termo geral é uma função quadrática do tipo a_n = a·n^2 + b·n + c, com a = 2/2 = 1.
2. Com a = 1, temos a_n = n^2 + bn + c. Para n=1: 1 + b + c = 3, logo b + c = 2. Para n=2: 4 + 2b + c = 7, logo 2b + c = 3. Subtraindo as equações, b = 1 e c = 1. Assim, a regra é a_n = n^2 + n + 1.
3. Verificação: para n=3, 9+3+1=13; para n=4, 16+4+1=21. Ambos conferem com a sequência dada.
4. Para o décimo termo, fazemos n=10: 10^2 + 10 + 1 = 100 + 10 + 1 = 111. Logo, a alternativa correta é a B, que coincide com o gabarito oficial.
5. Por que as outras estão erradas: a alternativa A (39) surge de supor que a diferença se mantém igual a 4 em todos os passos; a alternativa C (201) resulta de dobrar o coeficiente de n^2 sem ajustar os demais termos; a alternativa D (57) decorre de supor que a diferença constante é 6; a alternativa E (101) corresponde a n^2 + 1, ignorando o termo linear n.

💡 Dica: Identifique o padrão da sequência e use a fórmula para calcular o décimo termo.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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