Em 1940, matemáticos estudavam o ladrilhamento de um tabuleiro quadrado usando peças em forma de L, formadas…

Questão

Em 1940, matemáticos estudavam o ladrilhamento de um tabuleiro quadrado usando peças em forma de L, formadas por três quadradinhos de lado 1. Experimentos em tabuleiros de lado 3, 6 e 9 mostraram que era possível cobri-los sem sobras. No entanto, tentativas em tabuleiros de lado 4 e 5 sempre deixaram quadradinhos vazios. Observou-se que o número total de quadradinhos em um tabuleiro de lado n é n^2, e que cada peça em L cobre exatamente 3 quadradinhos. Conclua qual condição deve satisfazer n para que o tabuleiro quadrado de lado n possa ser totalmente coberto por essas peças em forma de L?

1. A) Que n seja múltiplo de 3
2. B) Que n seja ímpar
3. C) Que n seja múltiplo de raiz quadrada de 3
4. D) Que n^2 seja múltiplo de 2
5. E) Que n seja par

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Cada peça em L cobre exatamente 3 quadradinhos e o tabuleiro tem n^2 quadradinhos. Para cobrir tudo sem sobras, n^2 precisa ser múltiplo de 3, pois o total coberto é soma de blocos de 3.
2. Se 3 divide n^2 e 3 é primo, então 3 divide n. Logo, uma condição necessária é que n seja múltiplo de 3.
3. Os dados confirmam isso: 3, 6 e 9 são múltiplos de 3 e foram cobertos; 4 e 5 não são múltiplos de 3 e deixaram vazios.
4. A condição também é suficiente para tabuleiros quadrados: um tabuleiro 3x3 é coberto por uma peça, um 6x6 se divide em blocos 2x3 (cada um coberto por duas peças em L) e um 9x9 se divide em blocos 3x3. Em geral, n múltiplo de 3 garante a cobertura, por isso a alternativa A é a correta, coincidindo com o gabarito oficial.
5. Por que as outras estão erradas: B exige n ímpar, mas 5 é ímpar e não pode ser coberto; C usa múltiplos de raiz de 3, que não produzem inteiros diferentes de zero que sirvam como lado; D exige n^2 par, o que deixa de fora o 3, que funciona, e inclui o 4, que falha; E exige n par, o que deixa de fora o 3, que funciona, e inclui o 4, que falha.

💡 Dica: Analise a relação entre o número total de quadradinhos e a cobertura das peças em L.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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