ENEM - 2018 Um _designer_ de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n x n, com no qual…

Questão

ENEM - 2018 Um _designer_ de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão  n x n, com no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimensão 8 x 8. O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é

1. A) 4 x 4.
2. B) 6 x 6.
3. C) 9 x 9.
4. D) 10 x 10.
5. E) 11 x 11.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Considere um tabuleiro n x n, com n^2 casas. Ao posicionar a primeira peça, a zona de combate é formada pela linha e pela coluna dela. Linha e coluna têm n casas cada e a casa da própria peça pertence às duas, então a zona tem 2n - 1 casas. Excluindo a casa da peça, restam 2(n - 1) casas da zona que podem receber a segunda peça. Passo 2: Depois da primeira peça, sobram n^2 - 1 casas vazias. A segunda peça é colocada aleatoriamente em uma delas, então a probabilidade de cair na zona é 2(n - 1) / (n^2 - 1). Passo 3: Como n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1), a probabilidade simplifica para 2 / (n + 1). Passo 4: O enunciado exige que essa probabilidade seja inferior a 20% (1/5), o que dá 2/(n + 1) < 1/5, ou seja, n + 1 > 10, logo n > 9. Passo 5: A menor dimensão inteira que satisfaz essa condição é n = 10, isto é, 10 x 10, alternativa D. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A) 4 x 4 dá 2/5, que é 40%, acima do limite; B) 6 x 6 dá 2/7, cerca de 28,6%, ainda acima do limite; C) 9 x 9 dá exatamente 2/10, que é 20%, e não é inferior a 20%; E) 11 x 11 dá 2/12, cerca de 16,7%, satisfaz a condição, mas não é a dimensão mínima.

💡 Dica: Calcule a probabilidade da segunda peça cair na zona de combate e compare com o limite dado.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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