Uma empresa vende camisetas a partir de uma expressão de lucro dada por L = -x² + 10x - 21. Determine os…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma empresa vende camisetas a partir de uma expressão de lucro dada por L = -x² + 10x - 21. Determine os preços que maximizarão o lucro.
- A) x = 5
- B) x = 4
- C) x = 3
- D) x = 2
- E) x = 6
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o tipo de função. L = -x^2 + 10x - 21 é uma função quadrática com a = -1, b = 10 e c = -21. Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo, que é o vértice.
- Calcule a abscissa do vértice pela fórmula x = -b/(2a). Temos x = -10/(2 . -1) = -10/(-2) = 5.
- Confira o valor máximo do lucro. L(5) = -(5)^2 + 10 . 5 - 21 = -25 + 50 - 21 = 4. Assim, o lucro máximo é 4 unidades monetárias, obtido com x = 5.
- Verifique por outro caminho. Os zeros de L resolvem x^2 - 10x + 21 = 0, cujas raízes são x = 3 e x = 7. A média dessas raízes é (3 + 7)/2 = 5, que coincide com o vértice, como esperado, pois o vértice fica no ponto médio entre as raízes.
- Conclusão. A alternativa correta é a A, x = 5, o que coincide com o gabarito oficial. As demais estão erradas: B (x = 4) não é o vértice; C (x = 3) é um zero da função, onde o lucro é nulo, e não o máximo; D (x = 2) não corresponde ao vértice; E (x = 6) também não é o vértice.
💡 Dica: Identifique o vértice da parábola para encontrar o preço máximo.
Alternativa por alternativa
O lucro é maximizado com x = 5, onde a empresa vende 5 camisetas.
Supôs que o vértice está em x = 4, talvez por tentativa e erro com valores próximos ou por cálculo impreciso, sem aplicar a fórmula x = -b/(2a).
Por que engana: O aluno pode confundir o valor de x que maximiza o lucro com o valor que minimiza, escolhendo uma alternativa incorreta.
Confundiu o ponto de máximo com um zero da função, onde o lucro é nulo (x = 3 é uma das raízes de x^2 - 10x + 21 = 0).
Errou o cálculo do vértice, possivelmente tratando mal o sinal do coeficiente a ou da divisão por 2a, o que levou a um valor que não é a abscissa do máximo.
Calculou o vértice com erro aritmético, por exemplo ao usar 12 no lugar de 10 no numerador, ou confundiu o máximo com a maior raiz ou com um valor próximo da média das raízes.
Raio-X da questão
função quadrática
avaliacao
função quadrática · máximo de uma função
Revisar como encontrar o vértice de uma função quadrática.
O aluno pode confundir o valor de x que maximiza o lucro com o valor que minimiza, escolhendo uma alternativa incorreta.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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