Em 1807, exploradores lusitanos registraram três vilarejos no interior de uma região montanhosa. As rotas…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em 1807, exploradores lusitanos registraram três vilarejos no interior de uma região montanhosa. As rotas terrestres entre o vilarejo A e o vilarejo B tinham comprimento de 12 km, e entre A e C, 9 km. O ângulo formado pelas estradas AB e AC, medido no vilarejo A, era de 120°. Dados ilustrativos: utilize leis da trigonometria para avaliar a rede de caminhos. Calcule a distância aproximada entre os vilarejos B e C, em quilômetros.
- A) Aproximadamente 8,1 km
- B) Aproximadamente 18,3 km
- C) Aproximadamente 15,0 km
- D) Aproximadamente 21,0 km
- E) Aproximadamente 10,8 km
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Como o enunciado dá dois lados (AB = 12 km e AC = 9 km) e o ângulo entre eles em A (120°), o caminho é resolver o triângulo ABC pela Lei dos Cossenos, que relaciona o lado oposto ao ângulo (BC) com os outros dois lados. Passo 2: A fórmula é BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(120°). Passo 3: O cosseno de 120° vale -0,5, pois 120° está no segundo quadrante, onde o cosseno é negativo. Passo 4: Substituindo, BC^2 = 12^2 + 9^2 - 2 * 12 * 9 * (-0,5) = 144 + 81 + 108 = 333. Passo 5: Tirando a raiz quadrada, BC = raiz de 333, que é aproximadamente 18,25, ou seja, cerca de 18,3 km. Passo 6: O gabarito oficial (B) está correto e coincide com o meu resultado. Verificação das outras alternativas: a A é muito pequena para um lado que deve ser maior que a diferença 12 - 9 = 3 e, neste caso, ainda assim bem menor do que o resultado; a C seria o resultado se o triângulo fosse retângulo em A, o que não é; a D corresponde à soma 12 + 9, que só ocorreria se os três pontos estivessem alinhados com B e C em lados opostos de A; a E resulta de usar o sinal errado no termo do cosseno.
💡 Dica: Use a lei dos cossenos para calcular a distância entre B e C.
Alternativa por alternativa
O aluno estima a distância entre B e C de forma intuitiva, sem aplicar trigonometria, como se ela fosse próxima da diferença entre os lados, e não considera que o ângulo obtuso de 120° afasta os pontos.
Por que engana: Confundir a aplicação da lei dos cossenos com a lei dos senos ou esquecer de usar o ângulo correto.
Aplicando a lei do cosseno: BC^2=12^2+9^2-2·12·9·cos120°=333, logo BC˜sqrt(333)˜18,3 km.
O aluno aplica o Teorema de Pitágoras (144 + 81 = 225, raiz de 225 = 15), tratando o triângulo como retângulo e ignorando que o ângulo em A é de 120°.
O aluno soma as duas distâncias (12 + 9 = 21 km), como se B, A e C estivessem em linha reta, e não entende que a distância entre B e C é um lado de um triângulo e não a soma dos outros dois.
O aluno usa o cosseno de 120° como positivo (+0,5) na Lei dos Cossenos, obtendo 144 + 81 - 108 = 117 e raiz de 117, aproximadamente 10,8 km, em vez de somar 108.
Raio-X da questão
Lei dos cossenos, trigonometria, distância
avaliacao
Triângulos e propriedades básicas · Lei dos senos e cossenos
Estude a aplicação da lei dos cossenos para calcular lados de triângulos.
Confundir a aplicação da lei dos cossenos com a lei dos senos ou esquecer de usar o ângulo correto.
pensamento_critico
historico
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