Por que geólogos usam cortes para estimar volumes? Relato fictício: um depósito de rocha tem formato…

Questão

Por que geólogos usam cortes para estimar volumes? Relato fictício: um depósito de rocha tem formato aproximado de um cone circular reto de altura 20 m e raio da base 10 m. Para estimar o volume, dividem o cone em finas seções cilíndricas de 1 m de altura, com raio r(x)=10·(1–x/20) m, onde x é a distância da base. Aplicando o princípio de Cavalieri, obtém-se a fórmula exata do volume do cone. Conclua o volume do depósito de rocha apresentado no texto-base, em metros cúbicos.

1. A) 1/3·pi·(10/2)^2·20 m^3
2. B) 1/3·pi·20^2·10 m^3
3. C) pi·10^2·20 m^3
4. D) 1/3·pi·10^2·20 m^3
5. E) 1/2·pi·10^2·20 m^3

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Identifique os dados do cone no texto-base. A altura é h = 20 m e o raio da base é R = 10 m. O formato é de cone circular reto, e a fórmula usual do volume é V = (1/3)·pi·R^2·h.
2. Verifique a justificativa por Cavalieri. Cada seção a x metros da base é um disco de raio r(x) = 10·(1 – x/20), com área pi·r(x)^2. Somando as seções finas, V = integral de 0 a 20 de pi·100·(1 – x/20)^2 dx = pi·100·20/3 = 2000·pi/3 m^3, que coincide com a fórmula do cone.
3. Substitua os valores na fórmula. V = (1/3)·pi·10^2·20 = (1/3)·pi·100·20 = 2000·pi/3 m^3, aproximadamente 2094 m^3. Logo, a alternativa correta é a D.
4. Compare com as demais alternativas. A usa 10/2 = 5 no lugar do raio, ou seja, trata o raio como se fosse o diâmetro, o que está errado. B troca o raio pela altura, colocando 20 no lugar de 10 e vice-versa, o que está errado. C esquece o fator 1/3, calculando o volume de um cilindro de mesma base e altura, o que está errado. E usa o fator 1/2 no lugar de 1/3, o que não corresponde à fórmula do cone, portanto também está errada.
5. Conclusão: o gabarito oficial D está correto.

💡 Dica: Use o princípio de Cavalieri para calcular o volume do cone dividindo-o em seções cilíndricas.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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