Por que o volume de um cone é menor que o de um cilindro com o mesmo raio e altura? Para investigar essa…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que o volume de um cone é menor que o de um cilindro com o mesmo raio e altura? Para investigar essa questão, um professor enche dois recipientes transparentes com água: um cilindro e um cone de raio 3 cm e altura 6 cm. O cilindro comporta 339,12 cm3 de água, enquanto o cone, medido até a mesma altura, comporta apenas 113,04 cm3. Observando esses valores, os estudantes procuram uma relação geral entre os volumes dessas figuras sólidas. Analise o texto-base e determine a expressão que relaciona o volume V de um cone ao raio r e à altura h.
- A) V = (1/3) * pi * r^2 * h
- B) V = (1/4) * pi * r^2 * h
- C) V = (2/3) * pi * r^2 * h
- D) V = pi * r^2 * h
- E) V = (1/2) * pi * r^2 * h
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Um cilindro de raio r e altura h tem volume igual à área da base vezes a altura, ou seja, pi * r^2 * h. Passo 2: Comparando as duas figuras com a mesma base e a mesma altura, o cone ocupa exatamente um terço do cilindro, o que pode ser visto experimentalmente, pois três cones cheios de água ou areia enchem um cilindro de mesma base e altura. Passo 3: Os dados do enunciado confirmam essa proporção, pois 113,04 dividido por 339,12 resulta em 1/3. Passo 4: Logo, a expressão do volume do cone é V = (1/3) * pi * r^2 * h, alternativa A. Observação sobre os números: com r = 3 cm e h = 6 cm, o cilindro de fato teria volume pi * 9 * 6 = 54 pi, e o cone teria 18 pi, de modo que os valores informados (339,12 e 113,04) estão em escala diferente, mas a razão de 1/3 entre eles mantém a conclusão. Por que as outras estão erradas: B usa 1/4, fração que não aparece em nenhuma relação entre cone e cilindro. C usa 2/3, que é a razão entre o cone medido e o cilindro nos dados numéricos, mas não é o fator geométrico do cone. D é o volume do cilindro, que não corresponde ao cone. E usa 1/2, que seria metade do cilindro e não a relação correta para o cone.
💡 Dica: Use a fórmula do volume do cilindro e do cone para comparar e deduzir a expressão do volume do cone.
Alternativa por alternativa
O volume do cone corresponde a 113,04/339,12 = 1/3 do cilindro (pi r^2 h), resultando em V = 1/3·pi·r^2·h.
O aluno acredita que o cone ocupa um quarto do cilindro, possivelmente por uma generalização errada a partir de outras figuras ou por confundir o fator 1/3 com outra fração.
O aluno calcula a razão entre 113,04 e 339,12 ou entre os valores medidos e usa esse resultado de 2/3 como fator geral, sem considerar que a proporção de 1/3 é a relação entre o cone e o cilindro de mesma base e altura.
O aluno esquece o fator do cone e aplica a fórmula do cilindro, achando que o cone tem o mesmo volume que o cilindro de mesma base e altura.
Por que engana: Confundir a fórmula do volume do cone com a do cilindro, esquecendo o fator 1/3 na fórmula do cone.
O aluno supõe que o cone ocupa metade do cilindro, por intuição do dia a dia de que uma figura pontiaguda ocupa 'metade' do espaço de uma figura cheia.
Raio-X da questão
volume do cone
avaliacao
volume de sólidos geométricos · fórmula do volume do cilindro
Estude a fórmula do volume de sólidos geométricos, especialmente cones e cilindros.
Confundir a fórmula do volume do cone com a do cilindro, esquecendo o fator 1/3 na fórmula do cone.
tomada_decisao
cotidiano
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