Uma pesquisa da Secretaria Municipal de Cultura registrou o número de visitantes de um museu entre 2015 e…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2º grau do tipo y = ax2.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma pesquisa da Secretaria Municipal de Cultura registrou o número de visitantes de um museu entre 2015 e 2019. Os valores estão expressos em milhões de pessoas e foram organizados na tabela a seguir: Ano: 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 Visitantes: 0,120 | 0,135 | 0,150 | 0,165 | 0,180 O relatório informa que, nesse período, o crescimento anual ocorreu de maneira constante e que não foram considerados eventos extraordinários que pudessem alterar o padrão observado. Com base nos dados da pesquisa, qual modelo funcional representa adequadamente o padrão de crescimento do número de visitantes e permite estimar o total para 2020?
- A) Considerar o modelo exponencial V(a) = 0,120·1,125^(a − 2015), que estima aproximadamente 0,216 milhão de visitantes em 2020.
- B) Considerar o modelo linear V(a) = 0,015·(a − 2014) + 0,120, que estima 0,210 milhão de visitantes em 2020.
- C) Considerar o modelo quadrático V(a) = 0,005·(a − 2015)^2 + 0,120, que estima 0,245 milhão de visitantes em 2020.
- D) Considerar o modelo linear V(a) = 0,015·(a − 2015) + 0,120, que estima 0,195 milhão de visitantes em 2020.
- E) Considerar o modelo constante V(a) = 0,150, que estima 0,150 milhão de visitantes em 2020.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Observe a tabela. De 2015 para 2016 o número foi de 0,120 para 0,135, um aumento de 0,015. De 2016 para 2017 foi de 0,135 para 0,150 (aumento de 0,015), de 2017 para 2018 de 0,150 para 0,165 (aumento de 0,015) e de 2018 para 2019 de 0,165 para 0,180 (aumento de 0,015). A diferença entre anos consecutivos é sempre a mesma, então o crescimento é linear, com taxa constante de 0,015 milhão por ano.
- Escreva o modelo linear a partir do valor inicial e da taxa: V(a) = 0,015·(a − 2015) + 0,120, onde a é o ano. Para a = 2015 o modelo dá 0,120, e para a = 2019 dá 0,015·4 + 0,120 = 0,180, o que confere com a tabela.
- Estime 2020 substituindo a = 2020: V(2020) = 0,015·5 + 0,120 = 0,075 + 0,120 = 0,195 milhão de visitantes. Assim, a alternativa D está correta, e o gabarito oficial está coerente com a resolução.
- Por que as outras estão erradas. A alternativa A usa um modelo exponencial, mas a razão entre anos consecutivos não é constante (0,135/0,120 = 1,125, enquanto 0,150/0,135 ≈ 1,111). B usa a referência 2014 em vez de 2015, o que desloca o modelo em um ano e gera 0,210 em 2020. C usa um termo quadrático que não descreve diferenças constantes, e o resultado de 0,245 não é coerente com o padrão. E supõe valor constante em 0,150, ignorando o crescimento observado nos dados.
💡 Dica: Analise o padrão dos dados e compare com as funções propostas para identificar a melhor aproximação.
Alternativa por alternativa
O aluno percebe que o aumento de 2015 para 2016 corresponde a uma razão de 1,125 e generaliza que o crescimento é percentual constante, o que é um modelo exponencial. Não verifica que essa razão não se mantém nos anos seguintes.
Por que engana: Escolher uma função inadequada por não analisar corretamente o padrão de crescimento dos dados.
O aluno usa a taxa correta de 0,015 por ano, mas toma 2014 como ano de referência, quando o valor inicial 0,120 corresponde a 2015. Isso desloca o modelo em um ano e leva a uma estimativa errada para 2020.
O aluno acha que, como o número cresce, o crescimento deve estar acelerando, e escolhe um modelo quadrático. Não percebe que as diferenças entre anos consecutivos são iguais, o que caracteriza uma função linear.
A cada ano, o número de visitantes aumenta 0,015 milhão, pois 0,135 − 0,120 = 0,015 e essa diferença se mantém nos demais intervalos. Portanto, o padrão é linear. Para 2020, V(2020) = 0,015·(2020 − 2015) + 0,120 = 0,015·5 + 0,120 = 0,195 milhão, ou 195 mil visitantes.
O aluno interpreta 'crescimento constante' como se o número de visitantes se mantivesse estável. Ignora que a expressão se refere à taxa de crescimento, que é igual todos os anos, e não ao valor do número de visitantes.
Raio-X da questão
funções e modelagem matemática
avaliacao
função linear e suas propriedades · interpretação de tabelas e gráficos
estudo de funções lineares, exponenciais e outras para modelagem de dados
Escolher uma função inadequada por não analisar corretamente o padrão de crescimento dos dados.
pensamento_critico
cotidiano
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