Uma plataforma brasileira de entretenimento digital realiza uma campanha promocional em que, a cada rodada de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma plataforma brasileira de entretenimento digital realiza uma campanha promocional em que, a cada rodada de participação, retém 7% do valor apostado como receita e devolve 93% aos participantes. Todo o valor devolvido é reaplicado integralmente na rodada seguinte. Na primeira rodada, o valor total apostado é R reais. A campanha é encerrada depois de x rodadas, em que x é um número inteiro positivo. Assim, os valores apostados nas rodadas formam uma progressão geométrica de primeiro termo R e razão 0,93. A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a1 e razão q é dada por a1(1 - qn)/(1 - q). Com base nessas informações, qual expressão representa a receita total G(x) retida pela plataforma ao longo das x rodadas?
- A) G(x) = R · (1 − 0,93ˣ)
- B) G(x) = R · (1 − 0,93ˣ)/0,07
- C) G(x) = R · (1 − 0,93ˣ⁺¹)
- D) G(x) = 0,07R · (1 − 0,93ˣ)
- E) G(x) = R · (1 − 0,07ˣ)
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Na rodada k, o valor apostado é R·0,93^(k-1), pois os valores formam uma progressão geométrica de primeiro termo R e razão 0,93. Passo 2: A receita retida em cada rodada é 7% desse valor, ou seja, 0,07·R·0,93^(k-1). Passo 3: Os valores de receita também formam uma progressão geométrica, agora com primeiro termo 0,07R e razão 0,93. Passo 4: Pela fórmula da soma com n = x, G(x) = 0,07R·(1 − 0,93^x)/(1 − 0,93) = 0,07R·(1 − 0,93^x)/0,07 = R·(1 − 0,93^x). Passo 5: Portanto a alternativa correta é A, que coincide com o gabarito oficial. Passo 6: A alternativa B está errada, pois R·(1 − 0,93^x)/0,07 é a soma dos valores apostados, e não a receita retida. Passo 7: A alternativa C está errada, pois usa 0,93^(x+1), o que corresponde a uma soma de x+1 termos e não de x. Passo 8: A alternativa D está errada, pois mantém o fator 0,07 e esquece que a soma geométrica divide por (1 − 0,93) = 0,07, o que anula esse fator. Passo 9: A alternativa E está errada, pois troca a razão 0,93 pela taxa 0,07, o que não corresponde à progressão descrita.
💡 Dica: Use a fórmula da soma da PG e relacione os percentuais para montar G(x).
Alternativa por alternativa
Em cada rodada, a plataforma retém 7% do valor apostado. Os valores apostados são R, 0,93R, 0,93²R, ..., 0,93ˣ⁻¹R. Logo, a receita total é 0,07R(1 + 0,93 + ... + 0,93ˣ⁻¹). Aplicando a fórmula da soma de uma progressão geométrica, obtém-se 0,07R · (1 − 0,93ˣ)/(1 − 0,93). Como 1 − 0,93 = 0,07, os fatores 0,07 se cancelam, resultando em G(x) = R · (1 − 0,93ˣ).
O aluno calculou corretamente a soma geométrica dos valores apostados, mas esqueceu de aplicar os 7% de retenção e tomou esse total como receita.
O aluno contou x+1 termos na soma, possivelmente por um erro de contagem de rodadas ou por usar a fórmula com expoente deslocado.
O aluno aplicou corretamente os 7% sobre a soma, mas não percebeu que a fórmula da soma já inclui a divisão por (1 − 0,93) = 0,07, que deveria cancelar o 0,07.
O aluno confundiu a razão da progressão (0,93) com a porcentagem retida (0,07), trocando a base da potência.
Raio-X da questão
progressão geométrica e porcentagem
avaliacao
progressão geométrica · porcentagem
Estude soma de progressão geométrica e cálculo de porcentagem.
Confundir os percentuais de lucro e repasse, aplicando-os incorretamente na fórmula da soma da PG.
tomada_decisao
cotidiano
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