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O retângulo ABCD, com AB = 20 cm e AD = 15 cm, será espacialmente girado de 180º, tendo como eixo de rotação a…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT309

Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

O retângulo ABCD, com AB = 20 cm e AD = 15 cm, será espacialmente girado de 180º, tendo como eixo de rotação a reta r, que passa por seus vértices B e D, como mostra a figura. [IMAGEM] O sólido espacial gerado após essa rotação tem volume igual a UNESP - 2025

A) 2400p cm³.
B) 1200p cm³.
C) 3000p cm³.
D) 3200p cm³.
E) 4500p cm³.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

O eixo r é a diagonal BD. Ela divide o retângulo em dois triângulos retângulos congruentes, ABD e CBD. Pelo teorema de Pitágoras, BD = raiz de (20^2 + 15^2) = 25 cm. Passo 2: A altura relativa à hipotenusa BD é h = (20 x 15)/25 = 12 cm. Ela cai no ponto H, que divide BD em BH = 20^2/25 = 16 cm e HD = 15^2/25 = 9 cm. Passo 3: Ao girar 180º em torno de BD, cada ponto gera um semicírculo cujo raio é a sua distância ao eixo. Para cada posição x ao longo do eixo, o triângulo ABD fornece um segmento de comprimento f1(x), que vai do eixo até a borda do triângulo. Esse segmento varre um meio disco de raio f1(x). O triângulo CBD, do lado oposto do eixo, varre o outro meio disco de raio f2(x). Como os dois meios discos estão em lados opostos, não se sobrepõem e juntos formam um disco completo. Passo 4: O volume é V = (pi/2) x (integral de f1(x)^2 dx + integral de f2(x)^2 dx), de 0 a 25. Para ABD, f1(x) = 3x/4 em [0, 16] e f1(x) = 4(25 - x)/3 em [16, 25]. A integral de f1^2 vale (9/16) x (16^3/3) + (16/9) x (9^3/3) = 768 + 432 = 1200. Para CBD, a simetria dá a mesma integral, 1200. Passo 5: Então V = (pi/2) x 2400 = 1200 pi cm³, que é a alternativa B. As demais estão erradas: A dobra o volume correto; C usa a rotação de um triângulo em torno de um cateto; D usa altura ou raio incorretos; E trata a rotação como um cilindro de eixo em um lado do retângulo.

💡 Dica: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do retângulo em torno da reta BD.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Conceituala que mais engana

Conta cada triângulo como se gerasse um sólido completo e soma os dois, dobrando o volume. Não percebe que cada triângulo gera apenas meio disco por seção.

Por que engana: Confundir o eixo de rotação ou calcular área em vez de volume do sólido gerado.

B Correta

Certa. Ao girar o retângulo AO REDOR da diagonal BD, o sólido gerado é um cilindro de raio 15 cm (AD) e altura 20 cm (AB). O volume do cilindro V = pr²h = p(15)²(20) = p(225)(20) = p(4500). Mas como gira apenas metade do retângulo de cada lado da diagonal, o volume é metade disso: 4500p/2 = 2250p. Mas, como o giro completo é de 180°, apenas os trapézios simétricos geram dois cones unindo as bases maiores e menores de AB. Cada cone: V = 1/3pr²h, somando os dois, o total é V = p · (15)² · 20 = 4500p, mas na divisão correta dos volumes gerados: o sólido é um cilindro com “borda arredondada” (um sólido chamado toro oblato), com volume: V = (área do retângulo) × (circunferência média/2) ? V= (20×15)×p = 300×p = 1200p cm³.

C Erradaerro: Conceitual

Supõe que o eixo é um cateto e usa o cone de raio 15 e altura 20, duplicado (2 x 1/3 x pi x 15^2 x 20 = 3000 pi). Confunde a rotação em torno da diagonal com a rotação em torno de um lado.

D Erradaerro: Procedimental

Usa uma medida incorreta para o raio ou a altura dos sólidos gerados, como tomar um lado do retângulo no lugar da altura de 12 cm relativa à diagonal. Assim, o cálculo do volume sai errado.

E Erradaerro: Senso comum

Imagina que a rotação gera um cilindro de raio 15 e altura 20, como se o retângulo girasse em torno de um lado. Esquece que o eixo é a diagonal BD.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Lembrar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

volume de sólidos de revolução

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

geometria plana de retângulos · volume de sólidos geométricos

📚 Reveja

estude cálculo de volumes por rotação de figuras planas

⚠️ Erro mais comum

Confundir o eixo de rotação ou calcular área em vez de volume do sólido gerado.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

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