Considere um paralelepípedo reto com base retangular ABCD onde AB = 12 cm e BC = 5 cm. A aresta vertical tem…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Descrever características de algumas figuras geométricas espaciais (prismas retos, pirâmides, cilindros, cones), relacionando-as com suas planificações.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere um paralelepípedo reto com base retangular ABCD onde AB = 12 cm e BC = 5 cm. A aresta vertical tem comprimento h cm. A diagonal espacial que une A (vértice superior) e o vértice oposto G na base mede 15 cm. a) Determine h usando o teorema de Pitágoras. b) Explique por que a projeção superior (planta) da diagonal AG tem comprimento 13 cm, relacionando com triângulos semelhantes formados por retas verticais paralelas cortadas pela diagonal.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Resposta-modelo: (a) Diagonal da base: d = v(AB²+BC²)=v(12²+5²)=v169=13 cm. No espaço, diagonal espacial² = d² + h² ? 15² = 13² + h² ? h² = 225-169 = 56 ? h = v56 = 2v14 cm. (b) A projeção superior elimina a componente vertical, logo projeta-se a diagonal da base com 13 cm. Alternativamente, as arestas verticais são paralelas; ao traçar a diagonal AG como transversal, formam-se triângulos semelhantes cuja proporcionalidade confirma que a componente horizontal de AG é a diagonal da base (13 cm).
Explicação
O cálculo da altura h utiliza o teorema de Pitágoras, considerando a diagonal espacial como a hipotenusa de um triângulo formado pela diagonal da base e a altura. A projeção da diagonal AG na planta elimina a altura, resultando na diagonal da base, que é a hipotenusa do triângulo formado pelas arestas da base. A relação de semelhança entre os triângulos garante que a componente horizontal da diagonal AG corresponda exatamente ao comprimento da diagonal da base.
Raio-X da questão
diagonal de paralelepípedo
avaliacao
teorema de Pitágoras · triângulos semelhantes
Revisar o teorema de Pitágoras e propriedades de triângulos semelhantes.
O aluno pode confundir as relações entre os lados do triângulo, aplicando o teorema de Pitágoras de forma incorreta ao calcular a altura h.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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