No universo dos números reais, a equação (x² - 13x + 40) (x² - 13x + 42) / vx² - 12x + 35 = 0 é satisfeita por…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No universo dos números reais, a equação (x² - 13x + 40) (x² - 13x + 42) / vx² - 12x + 35 = 0 é satisfeita por apenas UNESP - 2017
- A) três números.
- B) dois números.
- C) um número.
- D) quatro números.
- E) cinco números.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique a condição de existência. O denominador é a raiz quadrada de x² - 12x + 35, que exige x² - 12x + 35 > 0 e, além disso, não pode ser zero. As raízes de x² - 12x + 35 são 5 e 7, logo o domínio real é x < 5 ou x > 7. Passo 2: Anule o numerador. Como a fração é zero apenas quando o numerador é zero (e o denominador é diferente de zero), resolva (x² - 13x + 40)(x² - 13x + 42) = 0. Em x² - 13x + 40 = (x - 5)(x - 8), as raízes são 5 e 8. Em x² - 13x + 42 = (x - 6)(x - 7), as raízes são 6 e 7. Os candidatos são 5, 6, 7 e 8. Passo 3: Verifique o domínio. O valor 5 zera o denominador, por isso é excluído. O valor 7 também zera o denominador e é excluído. O valor 6 está entre 5 e 7, onde x² - 12x + 35 = -1 é negativo, então não existe raiz real e é excluído. O valor 8 satisfaz x > 7, pois 8² - 12·8 + 35 = 3 > 0, e é a única solução. Passo 4: Conclusão. A equação é satisfeita por exatamente um número real, x = 8, o que corresponde à alternativa C, de acordo com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque inclui valores que anulam o denominador ou não pertencem ao domínio. A alternativa B está errada porque desconsidera a exclusão de um dos valores proibidos. A alternativa D está errada porque ignora completamente a condição de existência da raiz. A alternativa E está errada porque conta raízes que não são soluções válidas.
💡 Dica: Resolva as equações e analise as soluções para determinar quantas satisfazem a equação dada.
Alternativa por alternativa
O aluno anula o numerador, mas não verifica o denominador, e conta 5, 7 e 8 como soluções, esquecendo que 5 e 7 tornam a raiz do denominador igual a zero.
Por que engana: Confundir o número de soluções reais devido à má manipulação da raiz ou dos produtos das expressões.
O aluno considera apenas a primeira parte do produto, obtendo 5 e 8, e esquece que x = 5 anula o denominador, mantendo uma solução inválida.
Correta. Ao resolver x² - 13x + 40 = 0 (raízes: 5 e 8) e x² - 13x + 42 = 0 (raízes: 6 e 7), vemos que os candidatos a solução são x = 5, 6, 7 e 8. Mas, para que a expressão esteja definida, o denominador v(x² - 12x + 35) não pode ser zero nem negativo. Verificando para cada valor, apenas x = 8 satisfaz à equação sem violar a condição do denominador (para x = 5, 6, 7, a raiz do denominador é zero, gerando divisão por zero, o que não é permitido). Assim, só x = 8 é solução real.
O aluno iguala cada fator do numerador a zero e aceita 5, 6, 7 e 8 sem considerar a condição de existência da raiz quadrada no denominador, que exclui 5, 6 e 7.
O aluno mistura as raízes do numerador com as raízes do denominador, contando valores repetidos e excluídos como se fossem soluções válidas, chegando a cinco valores.
Raio-X da questão
equações quadráticas e soluções
avaliacao
equações quadráticas · operações com radicais
Estude resolução de equações quadráticas e análise de soluções.
Confundir o número de soluções reais devido à má manipulação da raiz ou dos produtos das expressões.
tomada_decisao
abstrato
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