A equação polinomial x³ – 3x² + 4x – 2 = 0 admite 1 como raiz. Suas duas outras raízes são UNESP - 2013
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A equação polinomial x³ – 3x² + 4x – 2 = 0 admite 1 como raiz. Suas duas outras raízes são UNESP - 2013
- A) (1 + i) e (1 – i).
- B) (2 + i) e (2 – i).
- C) (1 + v3 i) e (1 – v3 i).
- D) (–1 + i) e (–1 – i).
- E) (–1 + v3 i) e (–1 – v3 i).
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Como 1 é raiz, o polinômio x^3 – 3x^2 + 4x – 2 é divisível por (x – 1). Pelo dispositivo de Briot-Ruffini, com os coeficientes 1, –3, 4, –2 e a raiz 1: o primeiro coeficiente é 1; 1 vezes 1 + (–3) = –2; 1 vezes (–2) + 4 = 2; 1 vezes 2 + (–2) = 0. O resto zero confirma que 1 é raiz. Passo 2: O quociente é x^2 – 2x + 2. Passo 3: Resolva x^2 – 2x + 2 = 0 pela fórmula de Bhaskara: delta = (–2)^2 – 4 vezes 1 vezes 2 = 4 – 8 = –4. Então x = (2 ± raiz quadrada de –4) / 2 = (2 ± 2i) / 2 = 1 ± i. Passo 4: As outras raízes são (1 + i) e (1 – i), alternativa A. Verificação pelas relações de Girard: a soma das três raízes deve ser 3, e 1 + (1 + i) + (1 – i) = 3; o produto deve ser 2, e 1 vezes (1 + i)(1 – i) = 1 vezes 2 = 2. Passo 5: Por que as outras estão erradas: B tem soma 4 para as duas raízes, mas deveria ser 2; C tem produto 4, mas deveria ser 2; D tem soma –2, mas deveria ser 2; E tem soma –2 e produto 4, incompatíveis com o polinômio.
💡 Dica: Use divisão de polinômios para encontrar o polinômio quadrático e calcule suas raízes complexas.
Alternativa por alternativa
É a resposta que o enunciado sustenta.
O aluno provavelmente pulou a fatoração e chutou um par de complexos conjugados com parte real 2, sem checar a soma das raízes, que deveria ser 2 para as duas raízes restantes.
O aluno achou a parte real 1 corretamente, mas errou a parte imaginária ou o termo independente da equação quadrática, obtendo x^2 – 2x + 4 em vez de x^2 – 2x + 2, o que dá produto 4 em vez de 2.
Por que engana: O aluno pode confundir os coeficientes ao dividir o polinômio ou errar o cálculo das raízes complexas do polinômio resultante.
O aluno trocou o sinal do coeficiente de x ao montar o quociente, usando x^2 + 2x + 2 em vez de x^2 – 2x + 2, e assim obteve soma –2 para as raízes.
O aluno achou que as raízes da quadrática são opostas às do quociente correto, trocando os sinais de x sem justificativa, e ainda ajustou o termo independente para 4, o que mostra que não reconhece a relação entre coeficientes e raízes.
Raio-X da questão
raízes de polinômios complexos
avaliacao
divisão de polinômios · raízes complexas
estude divisão de polinômios e cálculo de raízes complexas
O aluno pode confundir os coeficientes ao dividir o polinômio ou errar o cálculo das raízes complexas do polinômio resultante.
tomada_decisao
abstrato
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