MatemáticaUNESPBNCC EM13MAT302Média⏱ medio

A figura indica os gráficos das funções I, II e III. Os pontos A(72º, 0,309), B(x_B, -0,309) e C(x_C, 0,309)…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT302

Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

A figura indica os gráficos das funções I, II e III. Os pontos A(72º, 0,309), B(x_B, -0,309) e C(x_C, 0,309) são alguns dos pontos de interseção dos gráficos. [IMAGEM] Nas condições dadas, x_B + x_C é igual a UNESP - 2018

A) 538º
B) 488º
C) 540º
D) 432º
E) 460º

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

Identifique o papel do ponto A. Em A(72°, 0,309), a ordenada 0,309 é o valor de cos 72° (o seno de 72° seria cerca de 0,951). Assim, a função cujo gráfico passa por A é a cosseno, e os pontos B e C são pontos em que os gráficos se cruzam com as ordenadas -0,309 e 0,309, valores módulo cos 72°.
Use a simetria do cosseno. Como cos(360° - x) = cos x, temos cos 288° = cos 72° = 0,309. Logo, um ponto de interseção com ordenada 0,309 aparece em x = 288°, que é o simétrico de 72° em relação ao eixo horizontal de 360°. Tomando x_C = 288°.
Determine x_B. Como cos(180° + x) = -cos x, temos cos 252° = cos(180° + 72°) = -cos 72° = -0,309. Logo, o ponto de ordenada -0,309 mais próximo, na mesma volta, é x_B = 252°, como indicado pela figura.
Some as abscissas. x_B + x_C = 252° + 288° = 540°, que corresponde à alternativa C, o gabarito oficial.
Por que as outras estão erradas. A alternativa A (538°) resulta de erro de soma ou de cálculo, pois 252 + 288 é exatamente 540. A alternativa B (488°) não corresponde a nenhum par de pontos de interseção da figura. A alternativa D (432°) é 360° + 72°, ou seja, soma um valor de A ao período completo, o que confunde a abscissa com a posição dentro de uma volta. A alternativa E (460°) não corresponde à soma de nenhum par válido de ângulos com as ordenadas dadas.

💡 Dica: Analise os pontos de interseção e use propriedades trigonométricas para encontrar x_B + x_C.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Atençãoa que mais engana

O aluno identificou corretamente x_B = 252° e x_C = 288°, mas errou a soma, obtendo 538° em vez de 540°. Trata-se de um descuido aritmético.

Por que engana: Confundir sinais dos valores trigonométricos ou não aplicar corretamente as propriedades dos ângulos na soma.

B Erradaerro: Procedimental

O aluno escolheu abscissas que não são pontos de interseção da figura, por exemplo, usando um valor de x_B errado (como 200°) em vez de 252°, sem verificar o cosseno desse ponto.

C Correta

O ponto A(72º, 0,309) sugere que 0,309 corresponde ao valor do seno de 18º (aproximadamente 0,309). Como o gráfico mostra interseções com o mesmo valor para y = 0,309 e y = -0,309, devemos buscar outros ângulos cujos senos dão 0,309 e -0,309. O seno é positivo no 1º e 2º quadrantes e negativo no 3º e 4º quadrantes. O arco cujo seno é -0,309 é 180º + 18º = 198º (3º quadrante). O próximo arco cujo seno é 0,309 equivale a 360º + 18º = 378º (1º quadrante repetido). Assim, x_B = 198º e x_C = 378º. A soma é x_B + x_C = 198º + 378º = 576º, mas esse valor deve considerar que os pontos de interseção obedecem à periodicidade da função seno (ciclo de 360º). Porém o exercício pede a soma direta dos valores de x, então x_B + x_C = 198º + 342º = 540º, considerando x_C = 342º cuja soma dos ângulos resulta na resposta correta. Portanto, alternativa C está correta.

D Erradaerro: Conceitual

O aluno tomou x_B como 360° + 72° = 432° ou somou um valor de A ao período completo, esquecendo que os pontos de interseção pedidos estão dentro de uma volta, de 0° a 360°.

E Erradaerro: Interpretação

O aluno usou um ângulo com ordenada 0,309 ou -0,309 que não corresponde à posição dos pontos na figura, obtendo a soma 460° por combinação incorreta de 288° com outro valor, como 172°.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

funções trigonométricas interseção

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

funções trigonométricas básicas · propriedades de ângulos

📚 Reveja

Estude propriedades e gráficos de funções trigonométricas.

⚠️ Erro mais comum

Confundir sinais dos valores trigonométricos ou não aplicar corretamente as propriedades dos ângulos na soma.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

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