Considere três configurações: (I) circunferência de centro O e raio r = 10 cm com pontos A,B,C na…

Questão

Considere três configurações: (I) circunferência de centro O e raio r = 10 cm com pontos A,B,C na circunferência e ângulo central ?AOB = 140°. (II) triângulo ABC retângulo em C, hipotenusa AB = 26 cm; altura CH à hipotenusa corta AB em H com AH = 10 cm e HB = 16 cm. (III) duas retas r ? s são cortadas por uma transversal t; no ponto de interseção com r forma-se um ângulo de 58°. Resolva: a) na (I) determine ?ACB (inscrito) e a medida do arco AB em graus e seu comprimento em cm; b) na (II) calcule AC, BC e CH usando relações métricas; c) na (III) determine o ângulo correspondente em s e o ângulo adjacente interior suplementar.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Relação entre ângulo central e inscrito: o ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco tem medida metade do ângulo central. Logo ?ACB = 1/2·?AOB = 1/2·140° = 70°. A medida do arco AB é 140°; seu comprimento L = r·? (? em rad): ? = 140°·p/180 = 7p/9 rad, então L = 10·(7p/9) = 70p/9 cm ˜ 24,43 cm. b) Em triângulo retângulo com altura CH sobre a hipotenusa AB valem: AC^2 = AB·AH, BC^2 = AB·HB e CH^2 = AH·HB. Assim: AC^2 = 26·10 = 260 ? AC = v260 = 2v65 ˜ 16,124 cm. BC^2 = 26·16 = 416 ? BC = v416 = 4v26 ˜ 20,396 cm. CH^2 = 10·16 = 160 ? CH = v160 = 4v10 ˜ 12,649 cm. (Alternativamente, verificar via Pitágoras: AC^2 + BC^2 = 260 + 416 = 676 = 26^2.) c) Para retas paralelas cortadas por uma transversal: ângulos correspondentes são congruentes; ângulos interiores do mesmo lado da transversal são suplementares. Logo o ângulo correspondente na reta s mede 58°. O ângulo interior adjacente (no mesmo lado da transversal) mede 180° - 58° = 122°.

Explicação

A relação entre ângulos centrais e inscritos é fundamental para determinar a medida do ângulo inscrito, que é sempre a metade do ângulo central correspondente. As relações métricas em triângulos retângulos permitem calcular os lados e a altura usando a hipotenusa e segmentos da hipotenusa, garantindo a precisão dos resultados. Por fim, a propriedade dos ângulos formados por uma transversal cortando retas paralelas assegura que ângulos correspondentes são iguais e que ângulos interiores do mesmo lado da transversal são suplementares, facilitando a análise dos ângulos formados.

Raio-X da questão

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