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Um torneio de futebol será disputado por 16 equipes que, ao final, serão classificadas do 1º ao 16º lugar…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT310

Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Um torneio de futebol será disputado por 16 equipes que, ao final, serão classificadas do 1º ao 16º lugar. Para efeitos da classificação final, as regras do torneio impedem qualquer tipo de empate. Considerando para os cálculos log 15! = 12 e log 2 = 0,3, a ordem de grandeza do total de classificações possíveis das equipes nesse torneio é de UNESP - 2016

A) bilhões.
B) quatrilhões.
C) quintilhões.
D) milhões.
E) trilhões.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

A questão pede o total de classificações possíveis de 16 equipes em 16 posições distintas, sem empates. Isso é uma permutação de 16 elementos, ou seja, 16! (16 fatorial).
Escrevendo 16! = 16 x 15!, aplicamos logaritmo: log 16! = log 16 + log 15!.
Como 16 = 2^4, temos log 16 = 4 x log 2 = 4 x 0,3 = 1,2. Com log 15! = 12, obtemos log 16! = 1,2 + 12 = 13,2.
Logo 16! = 10^13,2 = 10^0,2 x 10^13, aproximadamente 1,6 x 10^13. Como 10^13 equivale a 10 trilhões (um trilhão é 10^12), a ordem de grandeza é de trilhões. Conferindo, 16! = 20.922.789.888.000, que confirma esse valor.
Conclusão: a alternativa E (trilhões) está correta, coincidindo com o gabarito oficial.
Por que as outras estão erradas: A (bilhões) seria 10^9 ou 10^10, muito abaixo de 10^13; B (quatrilhões) seria 10^15, acima do valor real; C (quintilhões) seria 10^18, bem maior que o total; D (milhões) seria 10^6, incompatível com o fatorial de 16.

💡 Dica: Use propriedades de logaritmos para estimar a ordem de grandeza de 16!

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

O aluno provavelmente trata o fatorial como um produto de poucos fatores ou faz a soma dos logaritmos de forma errada, obtendo um valor de cerca de 10^9 a 10^10.

B Erradaerro: Procedimentala que mais engana

O aluno erra o cálculo de log 16 (por exemplo, usando 16 x 0,3 = 4,8 em vez de 4 x 0,3) e chega a uma potência maior, em torno de 10^15.

Por que engana: Confundir o uso do logaritmo para estimar fatoriais ou esquecer que 16! representa as permutacoes das equipes.

C Erradaerro: Conceitual

O aluno confunde 16! com uma potência, como 16^15, cujo logaritmo é 15 x 1,2 = 18, produzindo a ordem de quintilhões.

D Erradaerro: Conceitual

O aluno acredita que o número de classificações é pequeno, por exemplo considerando apenas 16 x 15 ou escolhas parciais, ignorando que todas as 16 posições devem ser preenchidas com todas as equipes.

E Correta

O número total de classificações possíveis é o número de formas de ordenar as 16 equipes, ou seja, 16! (fatorial de 16). Podemos calcular usando logaritmos: log(16!) = log(16×15×14...×1) = log16 + log15! Usando os dados fornecidos: log16 = log(2^4) = 4×log2 = 4×0,3 = 1,2. Assim, log(16!) = log(15!) + log(16) = 12 + 1,2 = 13,2. Como a ordem de grandeza é indicada pela potência de 10, 10^13,2 ˜ 2×10^13, ou seja, na casa dos trilhões. Portanto, a alternativa E é a correta.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Lembrar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

ordem de grandeza e logaritmos

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

fatorial e permutacoes · propriedades de logaritmos

📚 Reveja

fatoriais e propriedades de logaritmos

⚠️ Erro mais comum

Confundir o uso do logaritmo para estimar fatoriais ou esquecer que 16! representa as permutacoes das equipes.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

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