MatemáticaUERJBNCC EM13MAT401Difícil⏱ medio

Observe a função f, definida por: f(x) = x² - 2kx + 29, para x ? R Se f(x) = 4, para todo número real x, o…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT401

Converter representações algébricas de funções polinomiais de 1º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Observe a função f, definida por: f(x) = x² - 2kx + 29, para x ? R Se f(x) = 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4. Assim, o valor positivo do parâmetro k é: (UERJ 2016)

A) 5
B) 6
C) 10
D) 15

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

Interprete o enunciado. A frase 'Se f(x) = 4, para todo número real x' está mal redigida. O sentido pretendido, confirmado pela frase seguinte, é que o valor mínimo de f é 4. Trabalharemos com essa informação.
Identifique o tipo de função. f(x) = x^2 - 2kx + 29 é uma função quadrática com coeficiente de x^2 igual a 1, que é positivo. Logo, a parábola tem concavidade para cima e possui um valor mínimo, atingido no vértice.
Encontre a abscissa do vértice. Use xv = -b/(2a), com a = 1 e b = -2k. Assim, xv = -(-2k)/2 = k.
Calcule o valor mínimo. Substitua x = k em f: f(k) = k^2 - 2k·k + 29 = k^2 - 2k^2 + 29 = 29 - k^2.
Iguale ao mínimo dado. 29 - k^2 = 4, logo k^2 = 25. Portanto k = 5 ou k = -5. Como o enunciado pede o valor positivo, k = 5.
Compare com o gabarito. O resultado obtido, k = 5, corresponde à alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
Por que as outras estão erradas. B (6): o valor 6 daria 29 - 36 = -7, que não é 4. C (10): daria 29 - 100 = -71, que não é 4. D (15): daria 29 - 225 = -196, que também não é 4.

💡 Dica: Use a fórmula do valor mínimo da função quadrática para encontrar k.

Alternativa por alternativa

A Correta

CORRETA. O valor mínimo da função ocorre no vértice, dado por x_v = k. Substituindo em f(x), temos f(k) = k² - 2k² + 29 = -k² + 29. Igualando a 4, temos -k² + 29 = 4 ⇒ k² = 25 ⇒ k = 5 (valor positivo).

B Erradaerro: Procedimentala que mais engana

Provavelmente confundiu o quadrado com o dobro ou errou a raiz de 25, aceitando 36 (6^2) como se fosse 25. Também pode ter calculado o mínimo sem o termo quadrático.

Por que engana: Confundir o valor mínimo da função com o valor da função para um x específico, ou esquecer que o valor mínimo depende do vértice.

C Erradaerro: Procedimental

Possivelmente tomou o coeficiente 2k como se k fosse o próprio dobro e trocou a operação, obtendo um valor de k que não satisfaz 29 - k^2 = 4. Também pode ter multiplicado 25 por 4 ao extrair a raiz.

D Erradaerro: Conceitual

Provavelmente elevou ao quadrado o valor errado ou somou em vez de subtrair, por exemplo tratando 29 + 4 ou calculando 15^2 como solução de k^2 = 225. Não percebeu que o mínimo deve ser igual a 4.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

função quadrática valor mínimo

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

função quadrática · vértice da parábola

📚 Reveja

Estude propriedades e vértice de funções quadráticas.

⚠️ Erro mais comum

Confundir o valor mínimo da função com o valor da função para um x específico, ou esquecer que o valor mínimo depende do vértice.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

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