Em uma oficina de arte e geometria, uma estudante produzirá um mosaico quadrado com área de 1 m². Para…

Questão

Em uma oficina de arte e geometria, uma estudante produzirá um mosaico quadrado com área de 1 m². Para planejar o corte de uma faixa que atravessará o mosaico de um vértice ao vértice oposto, ela calcula o comprimento da diagonal. Como o lado do mosaico mede 1 m, o teorema de Pitágoras fornece d² = 1² + 1², portanto d = v2 m. Considerando especificamente a racionalidade do comprimento da diagonal calculado no texto, como esse número deve ser classificado?

1. A) Número decimal exato.
2. B) Número natural.
3. C) Número inteiro.
4. D) Número racional.
5. E) Número irracional.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. O enunciado informa que o lado do mosaico mede 1 m e que, pelo teorema de Pitágoras, d² = 1² + 1² = 2, logo d = raiz de 2 m (o texto escreve v2, que representa a raiz quadrada de 2).
2. Para classificar d quanto à racionalidade, precisamos verificar se raiz de 2 pode ser escrita como fração p/q com p e q inteiros e q diferente de zero.
3. Suponha, por absurdo, que raiz de 2 = p/q com p/q na forma irredutível. Então 2 = p²/q², ou seja, p² = 2q². Logo p² é par, o que implica que p é par. Escrevendo p = 2k, temos 4k² = 2q², isto é, q² = 2k², e então q também é par. Isso contradiz a irredutibilidade de p/q, pois p e q seriam ambos pares. Portanto raiz de 2 não é racional.
4. Como raiz de 2 não é racional, ela é irracional, e a alternativa correta é a E.
5. Por que as outras estão erradas: A) um decimal exato teria representação finita, e raiz de 2 tem infinitas casas decimais não periódicas; B) número natural é inteiro não negativo, e raiz de 2 não é inteiro; C) número inteiro não admite parte fracionária, e raiz de 2 está entre 1 e 2; D) número racional pode ser escrito como fração de inteiros, o que, como vimos, não ocorre com raiz de 2.
6. Conclusão: a diagonal do quadrado de lado 1 m mede raiz de 2 m, que é um número irracional.

💡 Dica: Classifique o número com base em suas propriedades.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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