Leia o texto a seguir. O Teorema de Pitágoras e a Razão Áurea são utilizados para analisar um Triângulo de…

Questão

Leia o texto a seguir. O Teorema de Pitágoras e a Razão Áurea são utilizados para analisar um Triângulo de Kepler, polígono nomeado em honra ao matemático e astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630). Entretanto, o próprio Kepler atribui esta criação a um professor chamado Magirus. Além disso, sabe-se que este conceito foi recriado inúmeras vezes e, de modo independente, por diversos matemáticos que sucederam Kepler. Adaptado de: Herz-Fischler, Roger (2000). The Shape of the Great Pyramid. Waterloo, Ontario: Wilfrid Laurier University Press Um Triângulo de Kepler é definido como um triângulo retângulo tal que seus lados estejam em progressão geométrica de razão f > 1. Seja T um Triângulo de Kepler escaleno de modo que seu menor lado tenha medida unitária. Sabendo que f ? R é a única solução positiva da equação polinomial x² = 1 + x, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a área de T em função de f. UEL - 2024

1. A) 1/2 f²
2. B) f²
3. C) 1/2 fvf
4. D) 1/2 f
5. E) 1/2 vf

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Os lados de T formam uma progressão geométrica de razão q > 1 e menor lado 1, logo são 1, q e q². Como a hipotenusa é o maior lado, ela é q². Para o triângulo de Kepler, q² = f, ou seja, os lados são 1, √f e f, com razão q = √f.
2. Aplicando o Teorema de Pitágoras com hipotenusa f: 1² + (√f)² = f², isto é, 1 + f = f². Essa é exatamente a equação dada x² = 1 + x com x = f, o que confirma a configuração. Os catetos são 1 e √f.
3. A área de um triângulo retângulo é (cateto × cateto)/2 = (1 × √f)/2 = (1/2)√f.
4. Entre as alternativas, (1/2)√f aparece como 1/2 vf na letra E, que corresponde ao resultado obtido. Portanto, o gabarito E está correto e foi confirmado pela resolução independente.
5. Por que as outras estão erradas: A) (1/2)f² usa a hipotenusa ao quadrado como se fosse um cateto; B) f² não é área, pois não há divisão por 2 nem uso de catetos; C) (1/2)f√f mistura o cateto √f com o valor f; D) (1/2)f usa a hipotenusa f como cateto.

💡 Dica: Use a definição do Triângulo de Kepler e a equação dada para expressar os lados e calcular a área.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Recorte histórico: No início do século XVII, o matemático Johannes Kepler investigou, em seus estudos de simetria, os…
• Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma…
• O Teorema de Pitágoras, provavelmente a relação mais conhecida da Matemática, afirma que em todo triângulo retângulo, o…
• Em uma oficina de arte e geometria, uma estudante produzirá um mosaico quadrado com área de 1 m². Para planejar o corte…
• Uma Árvore Pitagórica é uma figura plana que é construída por etapas. Na Etapa 1, ela começa com um quadrado de lado 1…
• Elabore um problema que envolva o teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo, explicando como resolvê-lo.