MatemáticaUELBNCC EM13MAT304Difícil⏱ medio

Um banco oferece a um cliente um empréstimo de valor C > 0 que será pago com n parcelas mensais fixas de valor…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT304

Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Um banco oferece a um cliente um empréstimo de valor C > 0 que será pago com n parcelas mensais fixas de valor P, de modo que C·j - C < P < C, onde j > 1 é um número real dado. De acordo com o contrato elaborado pelo banco, a função D : N ? R+ dada por D(n) = C·jn – P · (jn-1)/(j-1) indica o saldo devedor do cliente ao final do mês n, incluindo o pagamento da n-ésima parcela. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor de n para o qual D(n) = 0, isto é, quando o cliente quita sua dívida. UEL - 2025

A) n = logc P - C·(j - 1) / -P
B) n = logP P - C·(j - 1) / P
C) n = logj P - C·(j + 1) / P
D) n = logj P + C·(j - 1) / P
E) n = logj P - C·(j - 1) / P

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

Faça D(n) = 0 na função dada: C·j^n − P·(j^n − 1)/(j − 1) = 0. Passo 2: Multiplique tudo por (j − 1), obtendo C·(j − 1)·j^n − P·j^n + P = 0. Passo 3: Isole j^n: j^n·(C(j − 1) − P) = −P, logo j^n = P/(P − C(j − 1)). Passo 4: Pela condição do enunciado, C(j − 1) < P, então o denominador é positivo e a expressão é válida. Aplicando logaritmo de base j, obtém-se n = log_j [P/(P − C(j − 1))] = log_j P − log_j (P − C(j − 1)). Passo 5: Observe que o enunciado das alternativas está truncado e o segundo termo do logaritmo não aparece por completo, então comparo pela estrutura. A alternativa E é a única com log_j P (base j, como esperado) e com o termo de correção subtraído, por isso é a mais próxima da expressão exata; o gabarito E é coerente com essa análise, mas o termo C·(j − 1)/P não é idêntico a log_j (P − C(j − 1)), o que é uma limitação do texto da questão. Passo 6: A alternativa A está errada porque usa base c, que não existe na função, e troca o sinal do termo. A alternativa B está errada porque usa P como base do logaritmo, quando a incógnita está no expoente de j. A alternativa C está errada porque traz (j + 1) no lugar de (j − 1). A alternativa D está errada porque soma o termo de correção em vez de subtrair.

💡 Dica: Iguale D(n) a zero e resolva a equação para n.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimentala que mais engana

Usa c (a variável C) como base do logaritmo e inverte o sinal do termo de correção, o que mostra erro na isolação de j^n a partir da equação.

Por que engana: Confundir a aplicação das propriedades dos logaritmos, resultando em uma expressão incorreta para n.

B Erradaerro: Conceitual

Acredita que a base do logaritmo deve ser P, quando a incógnita n está no expoente de j e a base correta é j.

C Erradaerro: Procedimental

Substitui (j − 1) por (j + 1) ao expandir C·j^n·(j − 1), um erro algébrico de sinal na multiplicação.

D Erradaerro: Atenção

Soma o termo C(j − 1)/P em vez de subtrair, indicando erro de sinal ao isolar n após aplicar o logaritmo.

E Correta

CORRETA (com ressalvas). Para encontrar o número de parcelas 'n' quando o empréstimo é quitado, o saldo devedor D(n) deve ser zero. A manipulação algébrica da fórmula D(n) = C·j^n – P · (j^n-1)/(j-1) = 0 leva a: C·j^n (j-1) = P (j^n-1) => P = j^n [P - C(j-1)] => j^n = P / [P - C(j-1)]. Aplicando logaritmo na base j, obtemos n = log_j { P / [P - C(j-1)] }, que pode ser reescrito como n = log_j P - log_j [P - C(j-1)]. Nenhuma das alternativas corresponde *exatamente* a esta fórmula. No entanto, a alternativa E, n = logj P - C·(j - 1) / P, é a que mais se assemelha em estrutura e sinal ao resultado esperado, começando com logj P e subtraindo um termo. A discrepância no segundo termo (log_j [P - C(j-1)] vs. C·(j - 1) / P) sugere um possível erro na formulação das alternativas ou uma simplificação não padrão da questão. Dada a estrutura das opções e o gabarito, esta é a escolha mais provável, assumindo um erro na questão original.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

função, equação, juros, parcelas

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

função exponencial · logaritmos

📚 Reveja

Revisar resolução de equações exponenciais e interpretação de funções financeiras.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a aplicação das propriedades dos logaritmos, resultando em uma expressão incorreta para n.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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