Os frutos do girassol formam espirais que, quando contadas separadamente, à esquerda e à direita, admitem um…

Questão

Os frutos do girassol formam espirais que, quando contadas separadamente, à esquerda e à direita, admitem um comportamento irregular: não coincidem. Na figura a seguir, as espirais contadas em um sentido totalizam 34 e, no outro, totalizam 21. [IMAGEM] Adaptado de: https://blogs.glowscotland.org.uk/ Na obra Aspectos Ontológicos e Histórico-Culturais das Relações Ciências-Artes, György Darvas menciona que, de modo geral, os números de espirais, à esquerda e à direita, apesar de não coincidirem, obedecem a um padrão matemático e pertencem ao conjunto F = {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...} Seja N = {1, 2, 3, · · · } e admita que F é o conjunto imagem da função ƒ : N ? N que satisfaz f(1) = 1 f(2) = 1 f(n+2) = f(n + 1) + f(n) para todo n?N Assinale a alternativa que apresenta, corretamente e para todo n ? N, o valor de f(n + 5) em função de f(n + 1) e de f(n). UEL - 2025

1. A) f(n + 1) + f(n)
2. B) f(n + 1) + 2f(n)
3. C) 2f(n+1) +3f(n)
4. D) 5f (n + 1) +3f(n)
5. E) 5f(n + 1) + 8f(n)

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Use a recorrência f(n+2) = f(n+1) + f(n), válida para todo n natural. Ela permite escrever os termos seguintes em função de f(n+1) e f(n). Passo 2: Calcule f(n+3) = f(n+2) + f(n+1) = (f(n+1) + f(n)) + f(n+1) = 2f(n+1) + f(n). Passo 3: Calcule f(n+4) = f(n+3) + f(n+2) = (2f(n+1) + f(n)) + (f(n+1) + f(n)) = 3f(n+1) + 2f(n). Passo 4: Calcule f(n+5) = f(n+4) + f(n+3) = (3f(n+1) + 2f(n)) + (2f(n+1) + f(n)) = 5f(n+1) + 3f(n). Passo 5: Confira com n = 1. A sequência é 1, 1, 2, 3, 5, 8, então f(6) = 8, e 5f(2) + 3f(1) = 5 + 3 = 8. Confere, e a alternativa D está correta. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A tem apenas uma aplicação da recorrência, mas f(n+5) está cinco posições à frente de f(n). B troca os coeficientes, pois a expansão correta de f(n+3) é 2f(n+1) + f(n), e não f(n+1) + 2f(n). C usa 2 e 3 como coeficientes, o que não aparece na expansão correta; para n = 2, daria 7, enquanto f(7) = 13. E usa 5 e 8 como coeficientes, mas esses números são valores da sequência (f(5) e f(6)), e não coeficientes resultantes da recorrência.

💡 Dica: Use a definição da função recursiva para expressar f(n+5) em termos de f(n+1) e f(n).

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Manchete ficticia: "Padrão nos favos de mel inspira design de colares artesanais". Observando colmeias, uma artesã notou…
• Ao conduzir um experimento de germinação de sementes, um pesquisador anotou o número de mudas germinadas em função do…
• Você sabia que padrão matemático pode surgir em experimentos do cotidiano? Uma equipe de botânicos registrou, durante…
• Folhas verdes brotam em série ao longo de cada filamento de uma samambaia. Observadores notaram que, no primeiro nó…
• Por que algumas mudas florescem em ritmo acelerado? Em experiência caseira, uma família registrou a colheita diária de…
• Dados de um viveiro comunitário indicam que o jardineiro organizou as floreiras em filas com quantidades que seguem um…