Leia o texto a seguir. A unidade é indispensável: simplesmente para que qualquer coisa seja, exista, deve…

Questão

Leia o texto a seguir. A unidade é indispensável: simplesmente para que qualquer coisa seja, exista, deve, como verdadeira afirmação de si mesmo, negar aquilo que não é. Da unidade, segue que N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}. Já a criação do zero cunha uma separação entre nosso sistema de símbolos numéricos e a estrutura do mundo natural. A Matemática é a Ciência desenvolvida em um sistema consistente que exige que quantidades desconhecidas devam ser criadas e manipuladas, nos levando a considerar o conjunto Z = {. . . , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}. Adaptado de: Robert Lawlor. Mitos, Deuses, Mistérios: Geometria Sagrada. Edições del Prado. 1982. Há uma função f que relaciona os conjuntos N e Z apresentados no texto. Considere f : N ? Z dada por f(n) = { n 2 , se n é par -n + 1 2 , se n é ímpar Sobre a função f e os conjuntos presentes no enunciado, assinale a alternativa correta. UEL - 2024

1. A) Existe n ∈ N tal que f(n) = −10²³+1 2
2. B) f(2n) + f(2n + 1) = 0 para todo n ∈ N
3. C) Não existe n ∈ N tal que f(n) = −15
4. D) Se m, n são naturais ímpares tais que f(n) = f(m), então n ≠ m
5. E) Sendo a unidade indispensável, f(2n) + n = 1 para todo n ∈ N

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. A função é f(n) = n/2 se n é par e f(n) = (-n+1)/2 se n é ímpar, com domínio N = {1, 2, 3, ...}. Passo 2: Testando a alternativa B, para qualquer n natural, 2n é par, logo f(2n) = (2n)/2 = n. E 2n+1 é ímpar, logo f(2n+1) = (-(2n+1)+1)/2 = (-2n)/2 = -n. Assim f(2n) + f(2n+1) = n + (-n) = 0, o que confirma a alternativa B. Passo 3: Verificando a alternativa A, se n fosse par, n/2 = (-10^23+1)/2 daria n = -10^23+1, que não é natural. Se n fosse ímpar, (-n+1)/2 = (-10^23+1)/2 daria n = 10^23, que é par, então não serve. Logo A é falsa. Passo 4: Verificando a alternativa C, para n ímpar, (-n+1)/2 = -15 dá -n+1 = -30, ou seja, n = 31, que é natural e ímpar. Logo existe n tal que f(n) = -15, e C é falsa. Passo 5: Verificando a alternativa D, o enunciado diz que se m e n são ímpares com f(n) = f(m), então n ≠ m. Tomando m = n = 1, a hipótese é verdadeira (f(1) = f(1) = 0) e a conclusão n ≠ m é falsa. Logo D é falsa. Passo 6: Verificando a alternativa E, f(2n) = n, então f(2n) + n = 2n, que é igual a 1 apenas se n = 1/2, o que não vale para todo n natural. Logo E é falsa. Passo 7: Conclusão: a alternativa correta é a B, em acordo com o gabarito oficial.

💡 Dica: Analise a definição da função para valores pares e ímpares de n e verifique a imagem em Z.

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