MatemáticaFUVESTBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Existem números curiosos na matemática. Os números perfeitos são alguns deles. Um número n (para n ? N*) é…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Existem números curiosos na matemática. Os números perfeitos são alguns deles. Um número n (para n ? N*) é perfeito se, e somente se, for igual à soma de seus divisores positivos (excluindo o próprio). Relacionando números perfeitos e números primos, Euclides escreveu uma proposição em seu famoso livro “Elementos”: se 2^n - 1 é um número primo, então 2^n-1(2^n - 1) é um número perfeito. Considerando o que foi exposto, é correto afirmar: [FUVEST 2026 - Questão 55] FUVEST - 2026

A) Com exceção de n = 1, os 5 primeiros termos da sequência (a_n) = (2^n - 1) são números primos.
B) Os termos da progressão geométrica, cujo primeiro termo é o primeiro número perfeito e cuja razão é 3, são pares.
C) Os números 28 e 31 são números perfeitos.
D) Na proposição de Euclides, para n = 4, obtemos que 2^n - 1 não é primo, mas que 2^n-1(2^n - 1) é perfeito.
E) A sequência formada pela diferença dos termos consecutivos de (a_n) = (2^n - 1) é uma progressão aritmética de razão 2.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

Entendo a proposição de Euclides como 2^(n-1)(2^n - 1), que é a fórmula clássica para números perfeitos pares, com 2^n - 1 primo. Passo 2: Testo a alternativa A. Para n = 1 até 5, a_n = 2^n - 1 dá 1, 3, 7, 15 e 31. Como 15 = 3 x 5 não é primo, A está errada. Passo 3: Testo a alternativa B. O primeiro número perfeito é 6, pois seus divisores próprios 1, 2 e 3 somam 6. A progressão geométrica de primeiro termo 6 e razão 3 é 6, 18, 54, 162, e todos os termos são pares, pois multiplicar 6 por 3 mantém o fator 2. Logo B está correta. Passo 4: Testo a alternativa C. 28 é perfeito (1+2+4+7+14 = 28), mas 31 não é, pois seu único divisor próprio é 1 e 1 é diferente de 31. Assim C está errada. Passo 5: Testo a alternativa D. Para n = 4, 2^4 - 1 = 15 não é primo, isso está certo. Porém 2^3 x 15 = 120, cujos divisores próprios somam 1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60 = 240, diferente de 120, então não é perfeito e D está errada. Passo 6: Testo a alternativa E. As diferenças consecutivas de a_n são 2, 4, 8, 16, ..., que têm razão 2 e formam uma progressão geométrica, não aritmética. Logo E está errada. Conclusão: a única alternativa correta é a B, que coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Compreenda a definição de número perfeito e a proposição de Euclides para relacionar números primos e perfeitos.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimentala que mais engana

Supõe que todos os números da forma 2^n - 1 são primos (os números de Mersenne) sem testar o quarto termo, pois confunde a condição de primalidade com uma propriedade geral da sequência.

Por que engana: Confundir a definição de números perfeitos e primos, acreditando que todos os números da sequência são primos.

B Correta

CORRETA. Os termos da PG com razão 3 e primeiro termo par são pares.

C Erradaerro: Conceitual

Associa 31 aos números perfeitos porque é um primo de Mersenne (2^5 - 1), confundindo primo de Mersenne com número perfeito, sem verificar a soma dos divisores próprios.

D Erradaerro: Conceitual

Acredita que, por 2^4 - 1 não ser primo, a construção de Euclides também falha, mas ainda assim considera 120 ou 240 perfeitos, sem somar corretamente os divisores próprios; confunde a hipótese da proposição com a sua conclusão.

E Erradaerro: Conceitual

Calcula as diferenças dos termos consecutivos (2, 4, 8, ...) e, sem verificar a razão entre elas, conclui que formam uma progressão aritmética porque são números que crescem de forma regular.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ situacional🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

números perfeitos e primos

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

números primos e perfeitos · propriedades de sequências

📚 Reveja

Revisar definição de números perfeitos e propriedades de números primos relacionados.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a definição de números perfeitos e primos, acreditando que todos os números da sequência são primos.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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