Considere X = {x1, x2, ? , x10} com xi ? xj para todo i, j ? {1, ? , 10} distintos. Deseja-se transmitir a um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere X = {x1, x2, ? , x10} com xi ? xj para todo i, j ? {1, ? , 10} distintos. Deseja-se transmitir a um destinatário uma palavra formada com os caracteres do conjunto X. Para enviá-la de modo sigiloso, uma estratégia é criptografar a palavra trocando cada um de seus caracteres utilizando uma função f : X ? X que satisfaça as seguintes propriedades: I. f(f(x)) = x para todo x ? X II. f(x) ? x para todo x ? X Se apenas o remetente e o destinatário conhecem a função, a palavra é transmitida em segurança. Por exemplo: caso se escolha f de modo que f(x1) = x7, f(x2) = x5 e f(x10) = x3, então UEL - 2023 Com base no exposto e nos conhecimentos matemáticos, atribua V (verdadeiro) ou F (falso) às afirmativas a seguir.
- A) Se f : X → X atende as propriedades I e II, então f é injetora e sobrejetora.
- B) Se f : X → X é tal que f(x1) = x5 e f(x5) = x2, então f atende as propriedades I e II.
- C) Se f : X → X atende as propriedades I e II, então f(f(f(x))) = x para todo x ∈ X.
- D) Existem 105 funções f : X → X com f(x1) = x2 e que atendem as propriedades I e II.
- E) Existem 945 funções f : X → X que atendem as propriedades I e II.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- As condições são: f(f(x)) = x (f é involução, ou seja, f é sua própria inversa) e f(x) diferente de x (f não tem ponto fixo). Logo, f pareia os 10 elementos de X em 5 pares {x, f(x)}. Passo 2: A alternativa A está correta. Como f∘f = identidade, f é bijetora, portanto é injetora e sobrejetora. Passo 3: A alternativa B está errada. Se f(x1) = x5 e f(x5) = x2, então f(f(x1)) = x2, que é diferente de x1, violando a propriedade I. Passo 4: A alternativa C está errada. Como f∘f = identidade, f(f(f(x))) = f(x), que é diferente de x pela propriedade II. Passo 5: A alternativa D também é verdadeira, e isso é um problema do gabarito. Fixado f(x1) = x2, então f(x2) = x1, e os 8 elementos restantes formam 4 pares. O número de pareamentos é 7!! = 7·5·3·1 = 105. Passo 6: A alternativa E também é verdadeira. O número de pareamentos dos 10 elementos é 9!! = 9·7·5·3·1 = 945. Passo 7: Conclusão: A, D e E são todas verdadeiras, e B e C são falsas. O gabarito A está correto, mas a questão admite mais de uma afirmativa verdadeira, então a marcação única fica ambígua. Recomenda-se revisar o enunciado original.
💡 Dica: Analise as propriedades da função f para determinar sua estrutura e aplique-as na criptografia.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Se f : X → X atende as propriedades I e II, então f é injetora e sobrejetora, pois cada elemento é mapeado de forma única e reversível.
O aluno aceita que f(x1) = x5 e f(x5) = x2 bastam para definir uma função válida, sem verificar que f(f(x1)) deveria ser x1. Ele não percebe que a propriedade I exige que aplicar f duas vezes retorne ao ponto de partida.
Por que engana: Confundir as propriedades de injetividade e sobrejetividade, acreditando que uma função que não troca elementos pode ser injetora sem ser sobrejetora.
O aluno acha que, por f ser involução, aplicar f três vezes também voltaria ao ponto inicial. Na verdade f(f(f(x))) = f(x), e como f(x) é diferente de x pela propriedade II, a igualdade não se verifica.
Um aluno que marca D considerando-a falsa provavelmente errou a contagem dos pareamentos restantes, achando que a fixação de f(x1) = x2 deixa menos ou mais possibilidades que 7!! = 105. A conta correta mostra que a afirmativa é verdadeira.
Um aluno que marca E considerando-a falsa provavelmente não reconhece que o número de involuções sem ponto fixo em 10 elementos é o produto de ímpares 9!! = 945. Ele pode ter tentado usar 10! ou outra fórmula inadequada.
Raio-X da questão
função involutiva, criptografia, permutação
avaliacao
função injetora e sobrejetora · propriedades de funções
Revisar propriedades de funções involutivas e permutações em conjuntos finitos.
Confundir as propriedades de injetividade e sobrejetividade, acreditando que uma função que não troca elementos pode ser injetora sem ser sobrejetora.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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