Obtenha a fração geratriz irredutível de 4,\overline{09}.
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Obtenha a fração geratriz irredutível de 4,\overline{09}.
- A) 409/99
- B) 401/99
- C) 45/11
- D) 409/100
- E) 409/90
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Chame o número de x = 4,090909... Como o período 09 tem dois algarismos, multiplique por 100: 100x = 409,090909... Passo 2: Subtraia x da primeira equação para eliminar a parte periódica: 100x - x = 409,0909... - 4,0909..., ou seja, 99x = 405. Passo 3: Isole x: x = 405/99. Simplifique dividindo numerador e denominador por 9: 405/9 = 45 e 99/9 = 11, logo x = 45/11. Passo 4: Verifique a irredutibilidade: 11 é primo e não divide 45, portanto não há fator comum e 45/11 é irredutível. Conferência: 45 dividido por 11 dá 4,0909..., que é o número original. Por que as outras estão erradas: A) 409/99 resulta em 4,131313..., pois os algarismos do número foram colocados diretamente sobre 99 sem considerar a parte inteira e a posição da dízima. B) 401/99 resulta em 4,050505..., erro de cálculo ao montar a fração (a parte periódica 09 foi trocada por 05 ou a subtração foi feita incorretamente). D) 409/100 é igual a 4,09, um decimal exato, que ignora a barra sobre o 09 e portanto não representa a dízima. E) 409/90 resulta em 4,5444..., pois usa o denominador 90, que serve para dízimas do tipo 0,0\overline{9}, e não para uma dízima periódica pura como esta.
💡 Dica: Converta o número decimal periódico em fração e simplifique.
Alternativa por alternativa
O aluno pega os algarismos 409 e coloca sobre 99, ignorando que a parte 4 é inteira e que a dízima começa após a vírgula. Não faz a subtração que elimina a parte periódica.
Por que engana: Confundir a forma correta de transformar um decimal periódico em fração, resultando em uma fração que não é irredutível.
O aluno chega a um denominador correto 99, mas erra o numerador, provavelmente por erro na subtração ou por trocar o período 09 por 05. Assim obtém 4,0505... em vez de 4,0909...
Correta: se x = 4,\overline{09}, então 100x = 409,\overline{09}. Subtraindo, 100x - x = 409,\overline{09} - 4,\overline{09} = 405. Logo, 99x = 405 e x = 405/99 = 45/11.
O aluno trata 4,\overline{09} como se fosse o decimal exato 4,09, ignorando a barra que indica repetição infinita do 09.
O aluno aplica a regra das dízimas compostas (com antiperíodo, denominador 90) a uma dízima periódica pura, confundindo os dois casos. A regra correta para o período 09 de dois algarismos usa 99.
Raio-X da questão
fração geratriz, número decimal periódico
avaliacao
números decimais periódicos · frações irredutíveis
Revisar conversão de números decimais periódicos em frações e simplificação.
Confundir a forma correta de transformar um decimal periódico em fração, resultando em uma fração que não é irredutível.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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