Se x = 0,272727..., então 100x - x = 27. Qual é a fração geratriz irredutível de x?
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se x = 0,272727..., então 100x - x = 27. Qual é a fração geratriz irredutível de x?
- A) 27/100
- B) 11/3
- C) 3/11
- D) 3/10
- E) 27/101
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique o padrão decimal. O número 0,272727... tem o bloco repetido '27' (dois algarismos), logo a dízima é periódica simples.
- Multiplique x por 100 para deslocar o bloco repetido uma vez: 100x = 27,272727...
- Subtraia x de 100x para eliminar a parte decimal infinita: 100x - x = 27,2727... - 0,2727... = 27, ou seja, 99x = 27.
- Isole x: x = 27/99.
- Simplifique dividindo numerador e denominador por 9: 27/99 = 3/11. Como 3 é primo e 11 também não divide 3, a fração 3/11 é irredutível.
- Conferência: 3 dividido por 11 dá 0,272727..., o que confirma o resultado.
- Comparação com o gabarito: a resposta C (3/11) está correta e coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 27/100 é a fração do decimal finito 0,27, e não da dízima; B) 11/3 é o inverso de 3/11; D) 3/10 resulta de um erro no denominador, pois 27/90 não é igual a x; E) 27/101 surge de somar em vez de subtrair, já que 100 + 1 = 101.
💡 Dica: Use a propriedade das dízimas periódicas para montar a equação e encontrar a fração.
Alternativa por alternativa
O aluno usa o denominador 100 por ter visto 0,27 e tratar a dízima como se fosse um decimal exato com duas casas. Ele ignora que a repetição infinita exige o denominador 99.
Por que engana: Confundir a conversão de dízima periódica em fração, resultando em uma fração que não é irredutível.
O aluno inverte a fração final, escrevendo numerador e denominador trocados. Ele pode não ter conferido se a fração resultante, dividida, gera 0,2727...
De 100x - x = 27, temos 99x = 27. Logo, x = 27/99 = 3/11, na forma irredutível.
O aluno chega a 27/90 ou simplifica mal, trocando 99 por 90 ao subtrair ou ao escrever o denominador. Ele erra o cálculo de 100x - x, que resulta em 99x.
O aluno soma em vez de subtrair, calculando 100x + x = 101x e obtendo 27/101. Ele não percebe que a subtração é o passo que elimina a parte decimal infinita.
Raio-X da questão
fração geratriz, dízima periódica
avaliacao
dízimas periódicas · frações irredutíveis
Revisar como transformar dízimas periódicas em frações irredutíveis.
Confundir a conversão de dízima periódica em fração, resultando em uma fração que não é irredutível.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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