Ao transformar y = 1,0454545... em fração geratriz, subtraem-se 10y de 1000y. Qual é a fração irredutível que…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Ao transformar y = 1,0454545... em fração geratriz, subtraem-se 10y de 1000y. Qual é a fração irredutível que representa y?
- A) y = 1045/999
- B) y = 23/20
- C) y = 22/23
- D) y = 23/22
- E) y = 45/99
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Chamamos y = 1,0454545... e observamos que o período repetido é 45, com um único algarismo não periódico antes dele (o 0 depois da vírgula). Passo 2: Multiplicamos por 10 para deslocar a vírgula e obter a parte não periódica: 10y = 10,454545... Passo 3: Multiplicamos por 1000 para deslocar a vírgula até o fim do primeiro período: 1000y = 1045,454545... Passo 4: Subtraímos as duas igualdades para eliminar a parte decimal periódica: 1000y - 10y = 1045,4545... - 10,4545... = 1035. Logo, 990y = 1035. Passo 5: Isolamos y: y = 1035/990. Passo 6: Simplificamos dividindo numerador e denominador por 45: 1035 : 45 = 23 e 990 : 45 = 22. Portanto y = 23/22, que é irredutível, pois 23 é primo e não divide 22. Passo 7: Conferimos: 23/22 = 1,04545... Isso confirma a resposta. Por que as outras estão erradas: A) 1045/999 vem de uma subtração incorreta, pois 1045/999 é aproximadamente 1,0465, valor diferente do período dado. B) 23/20 é igual a 1,15, valor que não corresponde à dízima. C) 22/23 é o inverso de 23/22 e é menor que 1, incompatível com y maior que 1. E) 45/99 é igual a 0,4545..., que representa só a parte decimal e ignora a parte inteira 1. O gabarito D está correto.
💡 Dica: Use a técnica de fração geratriz para números decimais periódicos.
Alternativa por alternativa
O aluno subtrai de forma incorreta, usando 1045 como numerador e 999 como denominador, como se a subtração fosse 1000y - y. Ele não elimina corretamente a parte decimal repetida.
Por que engana: Confundir a subtração de 10y e 1000y, resultando em uma fração incorreta.
O aluno calcula a divisão ou a simplificação de forma errada e chega a 1,15, valor que não corresponde à dízima 1,0454545...
O aluno inverte numerador e denominador, obtendo o inverso de 23/22. Assim, passa a ter um valor menor que 1, quando a dízima está entre 1 e 2.
Correta. Fazendo 1000y - 10y, obtém-se 990y = 1035. Então y = 1035/990 = 23/22.
O aluno considera apenas o período repetido 0,4545... e ignora a parte inteira 1 de y. Ele trata a dízima como se começasse direto pelo período.
Raio-X da questão
fração geratriz, número decimal periódico
avaliacao
fração geratriz · números decimais periódicos
Revisar como transformar números decimais periódicos em frações geratrizes.
Confundir a subtração de 10y e 1000y, resultando em uma fração incorreta.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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