Sem escrever a fração completa, determine apenas o numerador da fração geratriz simplificada de 3,12020202....
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Interpretar criticamente situações econômicas, sociais e fatos relativos às Ciências da Natureza que envolvam a variação de grandezas, pela análise dos gráficos das funções representadas e das taxas de variação, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Sem escrever a fração completa, determine apenas o numerador da fração geratriz simplificada de 3,12020202....
- A) O numerador é 990.
- B) O numerador é 119.
- C) O numerador é 3089.
- D) O numerador é 3119.
- E) O numerador é 3088.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Chame o número de x = 3,12020202... . A parte que não se repete é 3,12 e o período repetido é 02, que começa na terceira casa decimal.
- Multiplique x por 100 para deslocar a parte não periódica para a parte inteira: 100x = 312,020202... .
- Multiplique x por 10000 para deslocar um período completo (2 casas) para a parte inteira: 10000x = 31202,020202... .
- Subtraia as duas igualdades para eliminar a dízima: 10000x - 100x = 31202,0202... - 312,0202... , o que dá 9900x = 30890.
- Isole x: x = 30890/9900. Simplificando por 10, obtemos a fração 3089/990.
- Verifique se a fração é irredutível. 990 = 2 x 3^2 x 5 x 11. O número 3089 não é par, a soma de seus algarismos é 20 (não divisível por 3), não termina em 0 ou 5, e 3089 dividido por 11 deixa resto 9. Logo 3089/990 já está na forma simplificada.
- Portanto o numerador da fração geratriz simplificada é 3089, o que corresponde à alternativa C, igual ao gabarito oficial.
- A alternativa A está errada porque 990 é o denominador, não o numerador. A alternativa B está errada porque 119 não resulta de nenhuma etapa correta do cálculo. A alternativa D está errada porque 3119 vem de um deslocamento incorreto das casas decimais. A alternativa E está errada porque 3088 é resultado de um erro de subtração próximo do correto, já que a fração simplificada é 3089/990.
💡 Dica: Identifique o período decimal e aplique a fórmula da fração geratriz para números decimais periódicos.
Alternativa por alternativa
Confundiu numerador com denominador: tomou 990, que é o denominador da fração 30890/9900 simplificada, como resposta para o numerador. Também pode ter parado no meio do cálculo sem identificar a fração final.
Errou ao subtrair as partes decimais, por exemplo tratando 3,1202... de forma incorreta ou subtraindo valores que não correspondem aos deslocamentos de 100x e 10000x. O resultado 119 não corresponde a nenhuma etapa válida do método.
Por que engana: Confundir a conversão de números decimais periódicos em frações, resultando em um numerador incorreto.
Correta. Fazendo 1000n - 10n, obtém-se 990n = 3089, logo n = 3089/990.
Deslocou a vírgula de forma incorreta, por exemplo, tratando o período 02 como se estivesse na posição errada, o que levou a uma subtração com números deslocados. O resultado 3119 aparece quando a parte repetida não é corretamente alinhada.
Calculou corretamente o caminho até 30890/9900 mas cometeu um pequeno erro de subtração ou de simplificação, obtendo 3088 em vez de 3089. O erro é de cálculo, não de conceito.
Raio-X da questão
fração geratriz, número decimal periódico
avaliacao
números decimais periódicos · frações geratrizes
Revisar como encontrar a fração geratriz de números decimais periódicos e simplificar frações.
Confundir a conversão de números decimais periódicos em frações, resultando em um numerador incorreto.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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