Determine a fração geratriz, na forma irredutível, da dízima periódica 3,121212...
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Determine a fração geratriz, na forma irredutível, da dízima periódica 3,121212...
- A) A fração geratriz é 312/99.
- B) A fração geratriz é 103/33.
- C) A fração geratriz é 309/100.
- D) A fração geratriz é 312/100.
- E) A fração geratriz é 310/99.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Chame a dízima de x = 3,121212... A parte inteira é 3 e o período é o bloco 12, que tem dois algarismos.
- Separe a parte inteira: x = 3 + 0,121212... Chame y = 0,121212...
- Como o período tem dois algarismos, multiplique y por 100: 100y = 12,121212... Subtraia y de 100y: 99y = 12, logo y = 12/99.
- Simplifique 12/99 dividindo por 3: y = 4/33.
- Some a parte inteira: x = 3 + 4/33 = 99/33 + 4/33 = 103/33.
- Verifique se é irredutível. 103 é primo e não divide 33 (que é 3 vezes 11), então 103/33 já está na forma irredutível.
- Conferência com as alternativas. A alternativa B, 103/33, é a correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque 312/99 simplifica para 104/33, que vale cerca de 3,1515. A alternativa C está errada porque 309/100 vale 3,09. A alternativa D está errada porque 312/100 vale 3,12, tratando a dízima como decimal finito. A alternativa E está errada porque 310/99 vale 3,1313..., com período diferente do enunciado.
💡 Dica: Represente a dízima como fração e simplifique o resultado.
Alternativa por alternativa
O aluno juntou os algarismos 3, 12 e 12 em 312 e colocou 99 no denominador, sem fazer a separação correta entre parte inteira e período. Além disso, não simplificou a fração, que ainda pode ser reduzida a 104/33.
Por que engana: O aluno pode colocar o número decimal sobre 100 sem considerar que o período se repete infinitamente, ou esquecer de simplificar a fração obtida.
Se x = 3,121212..., então 100x = 312,121212.... Subtraindo, 100x - x = 312,121212... - 3,121212..., obtém-se 99x = 309. Logo, x = 309/99 = 103/33, na forma irredutível.
O aluno tratou a dízima como se fosse um decimal finito, escrevendo 3,09 a partir dos algarismos iniciais e usando 100 como denominador. Ignorou a natureza periódica do número.
O aluno transformou 3,12 diretamente em 312/100, ignorando que a repetição infinita do 12 faz parte do valor. Ele confundiu a dízima periódica com um número decimal exato.
O aluno calculou a parte periódica como 13/99 em vez de 12/99, provavelmente por erro de leitura ou de contagem dos algarismos do período. Ele também escreveu o numerador como 310 em vez de 309 ou 312, conforme o caso.
Raio-X da questão
fração geratriz de dízima
avaliacao
frações equivalentes e simplificação · valor posicional decimal
Revise como converter dízimas periódicas simples em frações e reduzi-las à forma irredutível.
O aluno pode colocar o número decimal sobre 100 sem considerar que o período se repete infinitamente, ou esquecer de simplificar a fração obtida.
tomada_decisao
abstrato
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