Durante a análise de um sensor que registra, em metros, a posição de uma marca em um mecanismo periódico, uma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante a análise de um sensor que registra, em metros, a posição de uma marca em um mecanismo periódico, uma equipe observou o valor 4,3181818..., no qual os algarismos 18 se repetem indefinidamente. Para comparar esse valor com outras medidas, a equipe decidiu escrevê-lo como uma fração irredutível, isto é, uma fração cujo numerador e denominador não possuem divisor comum maior que 1. Com base no registro periódico do sensor, qual é a fração geratriz irredutível correspondente ao número 4,3181818...?
- A) 2159/495
- B) 95/22
- C) 95/21
- D) 475/111
- E) 43/10
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Chame o número de x = 4,3181818... Como o período '18' tem dois algarismos, multiplique por 100 para deslocá-lo: 100x = 431,8181818...
- Multiplique x por 10 para ter o mesmo trecho decimal após a vírgula: 10x = 43,1818181...
- Subtraia as duas igualdades para eliminar a parte periódica: 100x - 10x = 431,8181... - 43,1818..., o que resulta em 90x = 388,6363... Esse caminho é mais trabalhoso. Uma forma direta é multiplicar por 1000 e por 10: 1000x = 4318,1818... e 10x = 43,1818..., então 1000x - 10x = 4275, logo 990x = 4275.
- Isole x: x = 4275/990.
- Simplifique dividindo numerador e denominador por 5: 855/198. Depois divida por 9: 95/22. Como 95 = 5 x 19 e 22 = 2 x 11, não há divisor comum maior que 1, então a fração é irredutível.
- Verificação: 95/22 = 4,31818..., que confere com o valor do sensor. Assim, a alternativa correta é a B, de acordo com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 2159/495 equivale a 4318/990, ou seja, a fração não subtrai a parte não periódica e dá um valor próximo de 4,36. B) 95/22 é a resposta correta. C) 95/21 tem o numerador certo, mas o denominador errado, e a divisão resulta em aproximadamente 4,52. D) 475/111 equivale a 4275/999 e não considera o zero da parte não periódica, resultando em aproximadamente 4,279. E) 43/10 é apenas a parte decimal finita 4,3 e ignora completamente a dízima periódica.
💡 Dica: Converta a dízima periódica em fração usando a fórmula adequada para dízimas mistas.
Alternativa por alternativa
O aluno usou 4318 como numerador e 990 como denominador, sem subtrair a parte não periódica, e depois simplificou por 2. Ele não percebeu que o numerador deve ser a diferença entre os dois deslocamentos.
Seja x = 4,3181818.... Como o período possui dois algarismos, multiplicamos por 100: 100x = 431,8181818.... Subtraindo x da expressão anterior, obtemos 99x = 427,5? Para evitar a parte não periódica, é mais direto multiplicar primeiro por 10 e depois por 1000: 10x = 43,18181818... e 1000x = 4318,18181818.... Subtraindo, 990x = 4275. Portanto, x = 4275/990 = 95/22, após simplificar por 45.
O aluno acertou o numerador 95, mas errou o denominador, escrevendo 21 em vez de 22. Provavelmente houve erro de cálculo ao simplificar 990 ou 198.
Por que engana: Confundir a conversão de dízima periódica em fração, errando na parte que se repete.
O aluno usou 999 como denominador, tratando todos os algarismos como periódicos. Ele esqueceu que cada algarismo não periódico gera um zero no denominador, o que leva a 4275/999 = 475/111.
O aluno considerou apenas o 4,3 e desprezou a repetição infinita de 18. Assim, tratou a dízima periódica como se fosse um decimal exato.
Raio-X da questão
fração geratriz, dízima periódica
avaliacao
dízima periódica · frações irredutíveis
Revisar conversão de dízimas periódicas em frações irredutíveis.
Confundir a conversão de dízima periódica em fração, errando na parte que se repete.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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