Em uma atividade de monitoramento ambiental, um sensor registrou uma concentração, em determinada unidade…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma atividade de monitoramento ambiental, um sensor registrou uma concentração, em determinada unidade, representada no visor por 0,\overline{27}. A barra sobre os algarismos 27 indica que o bloco 27 se repete indefinidamente: 0,272727... Com base nessa leitura, qual é a fração geratriz irredutível correspondente ao número decimal registrado pelo sensor?
- A) 27/99
- B) 3/11
- C) 27/100
- D) 9/27
- E) 1/27
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Chame o número de x = 0,272727... (a parte que se repete é o bloco 27, com dois algarismos). Passo 2: Como o período tem dois algarismos, multiplique x por 100 para deslocar a vírgula duas casas: 100x = 27,272727... Passo 3: Subtraia a equação original da nova para eliminar a dízima: 100x - x = 27,272727... - 0,272727..., isto é, 99x = 27. Passo 4: Isole x: x = 27/99. Passo 5: Simplifique dividindo numerador e denominador por 9: 27/99 = 3/11. Como 3 e 11 são primos entre si, a fração 3/11 é irredutível, e essa é a resposta, que coincide com o gabarito oficial B. Por que as outras estão erradas: A) 27/99 é a geratriz correta, mas não está na forma irredutível, pois ainda pode ser simplificada. C) 27/100 é o decimal finito 0,27, e não a dízima periódica 0,272727.... D) 9/27 é igual a 1/3, que vale aproximadamente 0,333..., portanto não gera 0,272727.... E) 1/27 vale aproximadamente 0,037037..., um número bem diferente de 0,2727...
💡 Dica: Converta a dízima periódica em fração usando a definição de fração geratriz.
Alternativa por alternativa
O aluno percebeu que o denominador 99 é correto, mas parou na fração 27/99 sem simplificar, achando que ela já estava na forma pedida.
Seja x = 0,272727.... Como o período tem dois algarismos, multiplicamos por 100: 100x = 27,272727.... Subtraindo a primeira igualdade da segunda, obtemos 99x = 27. Assim, x = 27/99 = 3/11, após simplificar a fração pelo máximo divisor comum 9.
O aluno viu duas casas decimais e usou 100 como denominador, tratando a dízima como se fosse um decimal finito, o que ignora a repetição infinita do período.
O aluno usou o próprio bloco 27 como denominador e o 9 como numerador, sem fazer a dedução algébrica da geratriz, e não percebeu que 9/27 simplifica para 1/3, valor diferente do número registrado.
O aluno tomou o período 27 como denominador direto e colocou 1 como numerador, ignorando que a geratriz depende de 99 (um nove para cada algarismo do período) e não apenas do bloco repetido.
Raio-X da questão
fração geratriz, dízima periódica
avaliacao
dízima periódica · frações irredutíveis
Revisar o conceito de dízima periódica e como encontrar sua fração geratriz.
Confundir a representação da dízima periódica e escolher uma fração que não representa corretamente o valor decimal.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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